Inverse functie

Een inverse functie is een functie die de elementen “omgekeerd” toekent ten opzichte van de oorspronkelijke functie.

Inleidend voorbeeld

Om te beginnen nemen we een eenvoudige lineaire functie f(x) = 2x. Hoe zien de functiewaarden van deze functie eruit? Voor de eerste paar natuurlijke getallen zien de functiewaarden er bijvoorbeeld zo uit:

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 2\\ f(2)& =& 4\\ f(3)& =& 6\\ f(4)& =& 8\\ & \dots & \end{array}$$

We zien dat als we een twee in de functie stoppen, we een vier terugkrijgen. Wat zou de inverse functie van deze functie moeten doen? Ze zou omgekeerd moeten werken — we zouden er een vier in moeten stoppen en de functie zou ons een twee moeten teruggeven. De inverse functie, die we noteren als f⁻¹, zou de elementen omgekeerd moeten toekennen, dus zo:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(2)& =& 1\\ f^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(6)& =& 3\\ f^{-1}(8)& =& 4\\ & \dots & \end{array}$$

Hoe regelen we dat? Als de oorspronkelijke functie het dubbele van de parameter x teruggaf, dan zou de inverse functie juist de helft van de parameter x moeten teruggeven. Als we een drie invullen, hebben we na het verdubbelen een zes. Als we de helft van de zes nemen, hebben we weer de drie. De inverse functie zou dan zo worden opgeschreven:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Definitie

Nu definiëren we de inverse functie netjes. Neem dus een functie f met domein D_f en bereik B_f. Uit de definitie van een functie volgt dat we voor alle elementen x uit het domein D_f een element y uit het bereik B_f hebben waarvoor geldt f(x) = y.

De inverse functie f⁻¹ is dan de functie waarvoor geldt:

$$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x.$$

Wat vertelt deze definitie ons? Dat als we de functie f aanroepen met argument x en daarmee de waarde y krijgen, we de inverse functie moeten kunnen aanroepen met argument y en dat die de waarde x moet teruggeven.

We laten alles nog aan de hand van afbeeldingen zien. De eerste afbeelding toont de oorspronkelijke functie f, die het dubbele van de doorgegeven waarde teruggeeft. Het linkercirkeltje stelt het domein voor, de verzameling waaruit we de waarden voor x kiezen. Het rechtercirkeltje stelt het bereik voor, de verzameling waarden die de functiewaarde kan aannemen. De pijlen geven aan welke invoer op welke uitvoer wordt afgebeeld. Er zouden natuurlijk oneindig veel pijlen moeten staan, dit is maar een klein deel van de functie.

Hierna volgt de afbeelding van de inverse functie. De inverse functie lijkt er sterk op, vooral de richting van de pijlen verandert en het domein en het bereik veranderen. Die worden ook verwisseld.

We zien dat de functie oorspronkelijk afbeeldde van D_f naar B_f, maar de inverse functie beeldt juist af van B_f naar D_f. Het domein van de oorspronkelijke functie is dus gelijk aan het bereik van de inverse functie en het bereik van de oorspronkelijke functie is gelijk aan het domein van de inverse functie.

Bestaan van de inverse functie

Allereerst geldt dat een inverse functie niet altijd hoeft te bestaan, en dat komt door de basiseigenschap van een functie. Als we twee gelijke elementen van het domein nemen, a = b, dan moet de functie altijd dezelfde uitkomst geven, f(a) = f(b). Als we terugkeren naar de functie die het dubbele teruggaf, dan moet altijd gelden dat f(5) = 10. Het kan niet zo zijn dat de functie ons bijvoorbeeld dertien teruggeeft: f(5) = 13 — dit mag bij een functie volgens de definitie niet gebeuren.

Laten we nu de situatie analyseren waarin we bijvoorbeeld de kwadratische functie f(x) = x² hebben. Wat geeft de functie ons terug als we haar aanroepen met de argumenten x₁ = 2 en x₂ = −2? In beide gevallen geeft de functie de waarde 4 terug:

$$\begin{array}{rcl}f(2)& =& 4\\ f(-2)& =& 4\end{array}$$

Tot zover in orde. Maar hoe zou de inverse functie eruitzien? Als we de inverse functie van deze kwadratische functie zouden opstellen, zou tegelijk moeten gelden:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(4)& =& -2\end{array}$$

En dat is, zoals we weten, niet mogelijk. Een functie kan niet verschillende uitkomsten geven voor dezelfde argumenten. Wanneer bestaat de inverse functie dus wel? Als de functie voor geen twee invoerargumenten dezelfde waarde teruggeeft. En dat is precies de definitie van een injectieve functie:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

De inverse functie van een functie f bestaat dan en slechts dan als de functie f injectief is. Aan de hand van afbeeldingen maken we nog duidelijk waarom er echt geen inverse functie kan bestaan van een functie die niet injectief is. Met pijlen tekenen we een deel van de kwadratische functie f(x) = x²:

Als we zouden proberen de pijlen om te draaien, zouden we zo'n afbeelding krijgen:

We krijgen een afbeelding waarin vanuit één punt twee pijlen naar verschillende getallen in de tweede verzameling lopen. Dat voldoet niet aan de definitie van een functie, daarom kan de inverse functie niet bestaan.

Grafische betekenis

Als je de grafiek van een functie neemt en er bestaat een inverse functie, dan zijn deze grafieken elkaars spiegelbeeld in de lijn die door het eerste en derde kwadrant loopt — en dat is tegelijk de grafiek van de functie f(x) = x.

De inverse functie berekenen

Als je een functie hebt gekregen en de opdracht is om er de inverse functie van te berekenen, ga je te werk door van de functie een vergelijking te maken en uit die vergelijking x vrij te maken. De eerstgenoemde lineaire functie f(x) = 2x werken we dus zo uit:

$$y=2x$$

Hiermee beginnen we. Het doel is om x uit te drukken in y. Hier gaat dat vrij snel, je deelt de vergelijking gewoon door twee

$$\frac{y}{2}=x$$

en je hebt x uitgedrukt. De inverse functie wordt dus $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Nog een voorbeeld:

$$f(x)=4x-7$$

We maken er een vergelijking van en maken x vrij:

$$\begin{array}{rcl}y& =& 4x-7/+7\\ y+7& =& 4x/:4\\ \frac{y+7}{4}& =& x\end{array}$$

De inverse functie ziet er dus zo uit:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

We kunnen het uitproberen. We berekenen de functiewaarde van de oorspronkelijke functie bij de waarde drie:

$$f(3)=4\cdot 3-7=12-7=5$$

Als we de inverse functie goed hebben berekend, zouden we bij het aanroepen met de waarde 5 de drie weer terug moeten krijgen:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Nog een voorbeeld:

$$f(x)=x^2+1$$

We maken x vrij:

$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2+1/-1\\ y-1& =& x^2/\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}& =& \sqrt{x^2}\end{array}$$

Nu zijn we in een vervelende situatie beland. Uit x² kunnen we namelijk niet zomaar de wortel trekken om x te krijgen, we moeten de absolute waarde toevoegen, dus:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Als we dit in de vorige vergelijking invullen:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

Maar zo krijgen we twee uitkomsten, een positieve en een negatieve:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt{y-1}\\ x_2& =& -\sqrt{y-1}\end{array}$$

Het resultaat is dat we voor één y twee verschillende x hebben, behalve wanneer de wortel nul is. We kunnen echter wel een inverse functie vinden op een bepaald interval. Als we de grafiek van de functie bekijken:

dan zien we dat de inverse functie zou kunnen bestaan op het interval [0, → ⟩. We kunnen dus alleen het vrijmaken voor x₁ nemen. Dan krijgen we een functie waarvan je de grafiek in de afbeelding ziet:

We kunnen dus zeggen dat op het gegeven interval de inverse functie bestaat

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$