Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion ist eine Funktion, die die Elemente „umgekehrt“ zuordnet als die ursprüngliche Funktion.

Einführendes Beispiel

Zu Beginn nehmen wir eine einfache lineare Funktion f(x) = 2x. Wie sehen die Funktionswerte dieser Funktion aus? Für die ersten paar natürlichen Zahlen sehen sie zum Beispiel so aus:

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 2\\ f(2)& =& 4\\ f(3)& =& 6\\ f(4)& =& 8\\ & \dots & \end{array}$$

Wir sehen: Setzen wir in die Funktion die Zwei ein, erhalten wir die Vier. Was sollte die Umkehrfunktion zu dieser Funktion tun? Sie sollte umgekehrt arbeiten – wir setzen die Vier ein, und die Funktion sollte uns die Zwei liefern. Die Umkehrfunktion, die wir mit f⁻¹ bezeichnen, sollte die Elemente also umgekehrt abbilden, d. h. so:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(2)& =& 1\\ f^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(6)& =& 3\\ f^{-1}(8)& =& 4\\ & \dots & \end{array}$$

Wie machen wir das? Wenn die ursprüngliche Funktion das Doppelte des Parameters x geliefert hat, dann sollte die Umkehrfunktion umgekehrt die Hälfte des Parameters x liefern. Setzen wir die Drei ein, erhalten wir nach dem Verdoppeln die Sechs. Nehmen wir von der Sechs die Hälfte, haben wir wieder die Drei. Die Umkehrfunktion hätte dann diese Schreibweise:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Definition

Jetzt definieren wir die Umkehrfunktion ordentlich. Sei f eine Funktion mit der Definitionsmenge D_f und der Wertemenge W_f. Nach der Definition der Funktion gilt: Für alle Elemente x der Definitionsmenge D_f gibt es ein Element y der Wertemenge W_f, für das f(x) = y gilt.

Die Umkehrfunktion f⁻¹ ist dann die Funktion, für die gilt:

$$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x.$$

Was sagt uns diese Definition? Wenn wir die Funktion f mit dem Argument x aufrufen und dadurch den Wert y erhalten, dann muss sich die Umkehrfunktion mit dem Argument y aufrufen lassen und den Wert x zurückgeben.

Alles zeigen wir noch an Bildern. Das erste Bild stellt die ursprüngliche Funktion f dar, die das Doppelte des übergebenen Werts liefert. Der linke Kreis stellt die Definitionsmenge dar, also die Menge, aus der wir die Werte für x auswählen. Der rechte Kreis stellt die Wertemenge dar, also die Menge der Werte, die der Funktionswert annehmen kann. Die Pfeile zeigen, welche Eingabe auf welche Ausgabe abgebildet wird. Es müssten dort natürlich unendlich viele Pfeile sein, das hier ist nur ein kleiner Teil der Funktion.

Es folgt das Bild der Umkehrfunktion. Sie sieht sehr ähnlich aus, vor allem ändert sich die Richtung der Pfeile, und Definitionsmenge und Wertemenge ändern sich ebenfalls. Diese werden nämlich vertauscht.

Wir sehen, dass die Funktion ursprünglich von D_f nach W_f abgebildet hat, die Umkehrfunktion aber umgekehrt von W_f nach D_f. Es gilt also: Die Definitionsmenge der ursprünglichen Funktion ist gleich der Wertemenge der Umkehrfunktion, und die Wertemenge der ursprünglichen Funktion ist gleich der Definitionsmenge der Umkehrfunktion.

Existenz der Umkehrfunktion

Zunächst gilt: Die Umkehrfunktion muss nicht immer existieren, und zwar wegen der Grundeigenschaft einer Funktion. Nehmen wir zwei gleiche Elemente der Definitionsmenge a = b, dann muss uns die Funktion immer dasselbe Ergebnis f(a) = f(b) liefern. Kehren wir zu der Funktion zurück, die das Doppelte lieferte: Es muss immer f(5) = 10 gelten. Es kann nicht passieren, dass die Funktion uns zum Beispiel dreizehn liefert: f(5) = 13 – das darf bei einer Funktion nach der Definition nicht vorkommen.

Und nun versuchen wir die Situation zu analysieren, in der wir zum Beispiel die quadratische Funktion f(x) = x² haben. Was liefert uns die Funktion, wenn wir sie mit den Argumenten x₁ = 2 und x₂ = −2 aufrufen? In beiden Fällen liefert die Funktion den Wert 4:

$$\begin{array}{rcl}f(2)& =& 4\\ f(-2)& =& 4\end{array}$$

So weit ist alles in Ordnung. Wie würde aber die Umkehrfunktion aussehen? Würden wir die Umkehrfunktion zu dieser quadratischen Funktion aufstellen, müsste gleichzeitig gelten:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(4)& =& -2\end{array}$$

Und das ist, wie wir wissen, nicht möglich. Eine Funktion kann für dasselbe Argument nicht verschiedene Ergebnisse liefern. Wann existiert also die Umkehrfunktion? Wenn die Funktion für keine zwei Eingabeargumente denselben Wert liefert. Das ist genau die Definition einer injektiven Funktion:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Die Umkehrfunktion zur Funktion f existiert genau dann, wenn die Funktion f injektiv ist. An Bildern erklären wir noch, warum es zu einer Funktion, die nicht injektiv ist, wirklich keine Umkehrfunktion geben kann. Wir stellen mit Pfeilen einen Teil der quadratischen Funktion f(x) = x² dar:

Würden wir versuchen, die Pfeile umzukehren, bekämen wir dieses Bild:

Wir erhalten ein Bild, in dem von einem Punkt zwei Pfeile zu verschiedenen Zahlen in der zweiten Menge führen. Das erfüllt die Definition der Funktion nicht, deshalb kann die Umkehrfunktion nicht existieren.

Grafische Bedeutung

Nimmst du den Graphen einer Funktion, dann sind die Graphen der Funktion und ihrer Umkehrfunktion (falls sie existiert) achsensymmetrisch zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten – das ist gleichzeitig der Graph der Funktion f(x) = x.

Berechnung der Umkehrfunktion

Ist eine Funktion gegeben und sollst du zu ihr die Umkehrfunktion berechnen, gehst du so vor, dass du aus der Funktion eine Gleichung machst und diese nach x auflöst. Die zuerst genannte lineare Funktion f(x) = 2x formen wir also so um:

$$y=2x$$

Damit beginnen wir. Das Ziel ist, x durch y auszudrücken. Hier geht es ziemlich schnell, du teilst die Gleichung einfach durch zwei

$$\frac{y}{2}=x$$

und hast x ausgedrückt. Die Umkehrfunktion ist also $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Noch ein Beispiel:

$$f(x)=4x-7$$

Wir setzen in die Gleichung ein und lösen nach x auf:

$$\begin{array}{rcl}y& =& 4x-7/+7\\ y+7& =& 4x/:4\\ \frac{y+7}{4}& =& x\end{array}$$

Die Umkehrfunktion sieht also so aus:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Wir können es ausprobieren. Wir berechnen den Funktionswert der ursprünglichen Funktion an der Stelle drei:

$$f(3)=4\cdot 3-7=12-7=5$$

Haben wir die Umkehrfunktion richtig berechnet, sollten wir beim Aufruf mit dem Wert 5 wieder die Drei erhalten:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Noch ein Beispiel:

$$f(x)=x^2+1$$

Wir lösen nach x auf:

$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2+1/-1\\ y-1& =& x^2/\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}& =& \sqrt{x^2}\end{array}$$

Jetzt sind wir in eine unangenehme Situation geraten. Aus x² können wir nämlich nicht einfach so die Wurzel zu x ziehen, wir müssen den Betrag hinzufügen, also:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Setzen wir in die vorherige Gleichung ein:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

Dadurch erhalten wir aber zwei Ergebnisse, ein positives und ein negatives:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt{y-1}\\ x_2& =& -\sqrt{y-1}\end{array}$$

Das Ergebnis ist, dass wir für ein y zwei verschiedene x haben, außer wenn die Wurzel null ist. Wir können jedoch die Umkehrfunktion auf einem bestimmten Intervall finden. Betrachten wir den Graphen der Funktion:

so stellen wir fest, dass die Umkehrfunktion auf dem Intervall [0; ∞[ existieren könnte. Wir können also nur die Auflösung für x₁ nehmen. Dann erhalten wir eine Funktion, deren Graph du im Bild siehst:

Wir können also sagen, dass auf dem gegebenen Intervall die Umkehrfunktion

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$

existiert.