指数関数

指数関数とは、変数が指数の位置にある関数です。

定義

指数関数 f は次の形をしています。

$f (x) = a^{x}, a \in R, a > 0, a \neq 1$

a は複雑な式ではなく、ある数で、底といいます。x は指数です。たとえば、整数 3 や有理数 $\frac{1}{2}$ 、定数 π などを底にできます。

なぜ底 a に条件をつけるのでしょうか。a が1なら、定数関数になってしまいます。1は何乗しても1だからです。1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1 が成り立ちます。定数関数は指数関数に含めないので、a は1であってはいけません。そこで a ≠ 1 とします。

では、なぜ a>0 でなければならないのでしょうか。指数が実数の累乗は、底が正の数のときにしか定義されないからです。たとえば x を2分の1とすると、 $a^{\frac{1}{2}}$ を計算することになります。これは、a の平方根を求めることと同じです。そして、平方根をとれるのは0以上の数だけです。

これらの条件を満たすとき、指数関数 f(x) = a^x の定義域は実数全体になります。

2次関数と指数関数

指数関数は、2次関数とまちがえやすいものです。2次関数は変数が底で指数が数なのに対して、指数関数は底が数で指数が変数です。したがって、たとえば x²、x² + 4、x² − x + 1 は2次関数です。一方、2^x、4^x、π^x は指数関数です。

重要な指数関数

重要な指数関数の1つに、「自然指数関数」があります。これは、定数 e、つまりネイピア数を底とする関数です。ネイピア数は無理数、つまり小数で表すと循環しない小数が無限に続く数で、正確な値を書き表すことはできません。近似値は e = 2.718 281 828… です。この関数は、よく exp と書かれます。

もう1つの重要な指数関数は、底が10、つまり a = 10 の指数関数です。

a の値によるグラフの形

指数関数のグラフには、底の値によって2つの基本的な形があります。2つの区間 (0, 1) と (1, ∞) に分けて考えるのです。a が1つ目の区間にある、つまり1より小さいなら、関数は減少します。2つ目の区間にあるなら、増加します。これにはもちろん理由があります。例として $a = \frac{1}{2}$ 、つまり関数 $f (x) = {\frac{1}{2}}^{x}$ を考えましょう。x に2、3、4を順に代入するとどうなるでしょうか。関数の値はだんだん小さくなります。 $f (2) = {\frac{1}{2}}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ 、次に $f (3) = {\frac{1}{2}}^{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ で、これは $\frac{1}{8}$ に等しくなります。f(4) は8分の1の半分、つまり $\frac{1}{16}$ です。底が1より小さいので、どんどん小さな数になっていきます。1より小さい数をかけると、かならずもとより小さい数になるからです。

逆に a>1 なら、かけ算の結果は大きくなります。指数関数 f(x) = 3^x に2、3、4を代入すると、次のようになります。f(2) = 3² = 3 · 3 = 9。3のときは f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27。さらに f(4) = 81 です。したがって、この関数は増加します。底が1より大きい数なら、どんな数でも関数は増加することに注意しましょう。

そのため、底 a の値によって、グラフも2つの種類に分けて考える必要があります。

指数関数のグラフ

前の節で見たように、グラフには底 a の値によって2つの基本的な形があります。まず、a が区間 (0, 1) にあるときのグラフを見てみましょう。

$指数関数 y=\frac12^x のグラフ$

関数は減少していて、点 (0, 1) を通っています。これは偶然ではありません。累乗の性質から、0でない数の0乗はかならず1になります。つまり、 ${\frac{1}{2}}^{0} = 1, 5^{0} = 1, 33^{0} = 1$ などが成り立ちます。そのため、どの指数関数の曲線もこの点を通ります。次の図のように、a>1 の指数関数の曲線も同じです。

e をネイピア数とする指数関数 y=e^x のグラフ

指数関数の性質

定義域は実数全体の集合です。
値域は区間 (0, ∞) です。
下に有界で、a^x>0 です。上に有界ではありません。
最大値も最小値もありません。

関数が増加するか減少するかは、a の値によって決まります。a が区間 (0, 1) にあれば関数は減少し、区間 (1, ∞) にあれば増加します。

指数関数的な増加

「指数関数的に増える」という言い方は、ふだんの会話でもわりとよく使われます。ふつうは、何かがものすごい速さで増えていく、という意味です。典型的な例は細菌の分裂です。ある細菌が、いつも2つに分かれて増えていくとしましょう。このような増え方は、指数関数 f(x) = 2^x で表せます。関数の値は、x 回分裂したあとの細菌の数を表します。

例を見てみましょう。はじめ（分裂の回数は0、x = 0）は細菌が1個で、2⁰ = 1 です。1回目の分裂のあとは 2¹ = 2、つまり2個です。1個の細菌が2個に分かれるので、合っています。次に、その2個の細菌がどちらも2つに分かれて、2² = 4、つまり4個になります。さらにそれぞれが2つに分かれるので、3回目の分裂のあとは 2³ = 8 個です。以下同じように続きます。

意外に思えるかもしれませんが、この増え方はものすごく速いのです。10回分裂したあと、細菌はいくつになっているでしょうか。2¹⁰ = 1024 です。もうかなりの数です。20回分裂すると、2²⁰ = 1,048,576 になります。30回分裂すると、10億をこえます。

この増え方は、ふつうの2次関数よりもはるかに速いのです。指数関数 f(x) = 2^x と2次関数 g(x) = x² の速さを比べると、指数関数の圧勝です。関数 f の x = 20 における値はすでにわかっていますが、2次関数 g の x = 20 における値は g(20) = 20² = 400 です。これは 1,048,576 よりはるかに小さい値です。

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