計算ツール：ローンと住宅ローンの返済額

住宅ローンや自動車ローンの多くは、元利均等返済で返します。毎月、銀行に同じ金額を払う方法です。はじめのうちは返済額の半分以上が利息にあてられ、元金の返済にあてられるのは残りの部分だけですが、終わりに近づくと逆になります。銀行は、最後の返済で借入残高がぴったり0になるように返済額を決めます。4,000万円を年利3%、30年で借りると、毎月の返済額は16万9,000円弱で、その間に銀行に返す金額は6,000万円を超えます。

計算ツールは、銀行と同じように、利息が毎月つくものとし、月ごとの利率は年利の12分の1として計算します。この計算のしかたが数学的には厳密でない理由は、住宅ローンの利息の計算のしかたの記事でくわしく説明しています。

計算のしくみ

計算ツールは、毎月の返済額を次の公式で計算します。

$$s=U\cdot \frac{i}{1-(1+i{)}^{-N}}$$

ここで、U は借入額、i は月ごとの利率を小数で表したもの（パーセントで表した年利を1,200で割った値）、N は毎月の返済の回数です。

年利3%では、月ごとの利率は $i=\frac{3}{1200}=0.0025$ です。30年は360回の返済になります。代入します。

$$s=\mathrm{40,000,000}\cdot \frac{0.0025}{1-{1.0025}^{-360}}$$

累乗 1.0025⁻³⁶⁰ はおよそ0.4070なので、分母は0.5930になり、毎月の返済額は約168,642円です。360か月で支払う金額は次のとおりです。

$$360\cdot \mathrm{168,641.61}\fallingdotseq \mathrm{60,710,980.86}\text{円}$$

そのため、支払う利息の合計は約20,710,981円で、借りた金額の半分を超えます。最初の月の利息は 40,000,000 · 0.0025 = 100,000 円で、元金の返済にまわるのは約68,642円だけです。

実際の返済額は、計算ツールの結果と数円ちがうことがあります。銀行は返済額を丸め、最後の返済で調整するからです。また、銀行は利息のほかに手数料や保険料を加えることがありますが、それらは計算ツールの結果に含まれていません。年利が0%のときは、計算ツールは借入額を同じ額に分けるだけです。