計算ツール：お金が2倍になるまでの年数

利息のつく預金や投資のお金は複利で増えるので、1年に増える額は前の年より大きくなります。年6%で運用すると、100万円が200万円になるまでに約11.9年かかります。銀行員はこれを72の法則で暗算します。72を、パーセントで表した年利で割るだけです。年6%なら $72÷6=12$ 年です。驚くほどよい見積もりです。

逆向きにも使えます。インフレ率が年6%なら、お金の価値もやはり約12年で半分になります。

この計算ツールは、利息が年に1回つく場合で計算します。

計算のしくみ

正確な年数と72の法則による見積もりは、次の式で求めます。

$$n=\frac{\log 2}{\log (1+\frac{p}{100})}n\fallingdotseq \frac{72}{p}$$

ここで、p は年利（%）、n は年数です。

年利6%のとき、n 年後には預金は 1.06ⁿ 倍になります。これが2倍になる年数を求めるので、次の方程式を解きます。

$${1.06}^n=2$$

両辺の対数をとって整理すると、次のようになります。

$$n=\frac{\log 2}{\log 1.06}=\frac{0.6931}{0.0583}\fallingdotseq 11.9$$

72の法則では12年なので、差は1か月半もありません。この法則がうまくいくのは、利率が小さいとき log(1 + x) がほぼ x に等しく、$100\cdot \log 2\fallingdotseq 69.3$ だからです。69ではなく72を使うのは、72が2、3、4、6、8、9、12のどれでも割り切れて計算しやすいうえ、よくある8%前後の利率での誤差を少し小さくできるからです。ただし、利率がとても低いときやとても高いときは、ずれが大きくなります。1%では約3%、30%では約9%ずれます。