Αριθμομηχανή: δόση δανείου και στεγαστικού δανείου

Το στεγαστικό δάνειο και τα περισσότερα καταναλωτικά δάνεια αποπληρώνονται με ίσες δόσεις: κάθε μήνα στέλνεις στην τράπεζα το ίδιο ποσό. Στην αρχή το μεγαλύτερο μέρος του πηγαίνει σε τόκους και μόνο ένα μικρό κομμάτι στο ίδιο το χρέος. Προς το τέλος συμβαίνει το αντίθετο. Η τράπεζα ορίζει τη δόση έτσι ώστε μετά την τελευταία να είναι το χρέος ακριβώς μηδέν. Όποιος δανειστεί 160.000 € σε 30 χρόνια με επιτόκιο 5%, πληρώνει μηνιαίως λίγο λιγότερο από 860 € και θα επιστρέψει στην τράπεζα πάνω από 309.000 €.

Η αριθμομηχανή υπολογίζει όπως κάνουν οι τράπεζες: ο τόκος προστίθεται κάθε μήνα και το μηνιαίο επιτόκιο είναι το ένα δωδέκατο του ετήσιου. Γιατί αυτό δεν είναι μαθηματικά απόλυτα ακριβές, το εξηγεί το άρθρο Πώς να υπολογίσεις τους τόκους ενός στεγαστικού δανείου.

Πώς υπολογίζεται

Η αριθμομηχανή υπολογίζει τη μηνιαία δόση με τον τύπο

$$s=U\cdot \frac{i}{1-(1+i{)}^{-N}}$$

Εδώ U είναι το ποσό του δανείου, i το μηνιαίο επιτόκιο ως δεκαδικός αριθμός (το ετήσιο επιτόκιο σε ποσοστά διαιρεμένο με 1.200) και N το πλήθος των μηνιαίων δόσεων.

Ετήσιο επιτόκιο 5% δίνει μηνιαίως $i=\frac{5}{1200}\approx \mathrm{0,004}167$. Τριάντα χρόνια είναι 360 δόσεις. Αντικαθιστούμε:

$$s=160.000\cdot \frac{\mathrm{0,004}167}{1-\mathrm{1,004}{167}^{-360}}$$

Η δύναμη 1,004167⁻³⁶⁰ βγαίνει περίπου 0,2238, άρα ο παρονομαστής είναι 0,7762 και η δόση βγαίνει 858,91 €. Σε 360 μήνες θα πληρώσεις

$$360\cdot 858,91\approx 309.207,60\text{€},$$

άρα θα πληρώσεις παραπάνω 149.207,60 €, σχεδόν όσα δανείστηκες. Τον πρώτο μήνα ο τόκος είναι 160.000 · 0,004167 ≈ 667 € και για την αποπληρωμή του χρέους πάνε μόλις 192 €.

Η πραγματική δόση μπορεί να διαφέρει από την αριθμομηχανή κατά μερικά ευρώ, γιατί η τράπεζα στρογγυλοποιεί τη δόση και τη διαφορά τη διορθώνει στην τελευταία. Εκτός αυτού, οι τράπεζες μερικές φορές προσθέτουν έξοδα και ασφάλιστρα, και αυτά στην αριθμομηχανή δεν υπάρχουν. Με μηδενικό επιτόκιο η αριθμομηχανή απλώς μοιράζει το χρέος σε ίσα μέρη.