Calcolatrice: rata di un prestito e di un mutuo

Il mutuo e quasi tutti i prestiti al consumo si rimborsano con rate costanti (ammortamento alla francese): ogni mese versi alla banca lo stesso importo. All’inizio la maggior parte va in interessi e solo una piccola parte a ridurre il debito, verso la fine accade il contrario. La banca fissa la rata in modo che con l’ultima il debito sia esattamente zero. Chi prende a prestito 160.000 € per 30 anni al 5%, paga ogni mese poco meno di 860 € e alla banca restituisce in tutto più di 309.000 €.

La calcolatrice fa i conti come le banche: gli interessi vengono capitalizzati ogni mese e il tasso mensile è la dodicesima parte di quello annuo. Perché matematicamente non è del tutto esatto lo spiega l’articolo Come calcolare gli interessi di un mutuo.

Come si calcola

La calcolatrice calcola la rata mensile con la formula

$$s=U\cdot \frac{i}{1-(1+i{)}^{-N}}$$

dove U è l’importo del prestito, i il tasso d’interesse mensile come numero decimale (tasso annuo in percentuale diviso 1200) e N il numero di rate mensili.

Un tasso annuo del 5% dà mensilmente $i=\frac{5}{1200}\approx \mathrm{0,004}167$. Trent’anni sono 360 rate. Sostituiamo:

$$s=160000\cdot \frac{\mathrm{0,004}167}{1-\mathrm{1,004}{167}^{-360}}$$

La potenza 1,004167⁻³⁶⁰ viene circa 0,2238, quindi al denominatore c’è 0,7762 e la rata risulta 858,91 €. In 360 mesi pagherai

$$360\cdot 858,91\approx 309207,60\text{€},$$

cioè in più 149.207,60 €, quasi tanto quanto hai preso in prestito. Già nel primo mese l’interesse è 160000 · 0,004167 ≈ 667 € e al rimborso del debito vanno solo circa 192 €.

La rata reale può differire di qualche euro da quella della calcolatrice, perché la banca arrotonda la rata e conguaglia l’ultima. Inoltre le banche a volte aggiungono commissioni e assicurazioni, che nella calcolatrice non ci sono. Con tasso zero la calcolatrice divide semplicemente il debito in parti uguali.