Potenze e radici

L’elevamento a potenza è un’operazione matematica che, detto in modo semplice, serve a scrivere in forma abbreviata una moltiplicazione ripetuta.

Esponente naturale

L’elevamento a potenza ha la forma aⁿ, dove n si chiama esponente e a si chiama base. Ci interesserà soprattutto il tipo di esponente. In questa parte vediamo che proprietà ha una potenza con esponente naturale, cioè quando l’esponente è uno dei numeri 1, 2, 3, 4, …

Un esempio di tale potenza è 6². Il sei è la base, il due è l’esponente. L’esponente ci dice quante volte di seguito dobbiamo moltiplicare il sei per ottenere il risultato. Quindi vale 6² = 6 · 6 = 36. Un altro esempio: 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. In generale possiamo scriverlo così:

$$a^n=\underset{n\text{ volte}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

La base può essere qualsiasi cosa: un numero, ma anche un’espressione più complicata. Durante il calcolo moltiplichi l’espressione data per sé stessa tante volte quante indica l’esponente. Esempi:

$$\begin{array}{rcl}(-5{)}^3& =& (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\\ x^4& =& x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3{)}^2& =& (x+3)\cdot (x+3)\end{array}$$

Per l’esponente uguale a zero poniamo per definizione a⁰ = 1.

Esponente negativo

In questa parte supponiamo che l’esponente sia negativo. Come si potrebbe interpretare? Partiamo da a⁰ = 1. Se vogliamo calcolare a¹, possiamo dire che moltiplichiamo a⁰ per a. Poiché a⁰ = 1, il prodotto è a⁰ · a = a. Otteniamo a. Se vogliamo calcolare a², possiamo scrivere a² = a⁰ · a · a.

Del valore a⁰ = 1 possiamo dire che è il nostro valore di partenza e che, quando calcoliamo aⁿ, moltiplichiamo n volte il valore a⁰ per a. Come procederemmo se n fosse negativo? Se n è positivo, moltiplichiamo. Se n è negativo, dividiamo. Quindi a⁻¹ si ottiene prendendo il valore iniziale a⁰ e dividendolo per a. Otteniamo così l’uguaglianza:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac{1}{a}$$

Se volessimo conoscere a⁻², divideremmo a⁰ per a due volte. Che cosa otterremmo? Prima ricordiamo come si può scrivere diversamente una divisione. Se abbiamo il quoziente x/y, possiamo scriverlo ugualmente come

$$x\cdot \frac{1}{y}$$

È una delle proprietà fondamentali delle frazioni. Quindi, se vogliamo dividere un’espressione x due volte per y, possiamo scrivere

$$x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{y}$$

Torniamo all’esempio a⁻². Abbiamo detto che lo otteniamo dividendo a⁰ per a due volte. Lo riscriviamo così:

$$a^{-2}=a^0\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

A questo punto abbiamo la procedura per calcolare una potenza con esponente negativo. Calcoliamo la potenza come se l’esponente fosse positivo e poi ne facciamo il reciproco, dividendo uno per il risultato dell’elevamento a potenza. Scritto con più precisione:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Qui supponiamo che −n sia un numero negativo, cioè che n sia positivo.)

Ecco alcuni esempi:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{-1}& =& \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\ 5^{-3}& =& \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3{)}^{-8}& =& \frac{1}{(2x+3{)}^8}\end{array}$$

Esponente razionale

L’esponente possiamo estenderlo a tutti i numeri razionali. Un numero razionale è un numero che si può esprimere sotto forma di frazione, cioè come quoziente di due numeri interi. Prendiamo quindi una frazione della forma m/n, dove n è un numero positivo. Allora possiamo scrivere la formula

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Quel segno sopra a^m è il simbolo della radice.

Proprietà delle potenze

• a⁰ = 1, se a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0, se n > 0.
• 0⁰ è un’espressione non definita.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, se a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.