Üslü ve Köklü İfadeler

Üs alma, basitçe söylersek, tekrarlanan çarpmayı kısaltarak yazmaya yarayan bir matematiksel işlemdir.

Pozitif Tam Sayı Üs

Üs alma aⁿ biçimindedir; burada n ifadesine üs, a ifadesine taban deriz. Bundan sonra özellikle üssün biçimi ilgimizi çekecek. Bu bölümde üssü pozitif tam sayı olan, yani üssün 1, 2, 3, 4, … olduğu bir üslü ifadenin hangi özelliklere sahip olduğunu göreceğiz.

Böyle bir üslü ifadeye örnek 6² ifadesidir. Altı taban, iki üstür. Üs bize sonucu elde etmek için altıyı kaç kez art arda çarpmamız gerektiğini söyler. Yani 6² = 6 · 6 = 36 olur. Başka bir örnek: 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Genel olarak şöyle yazabiliriz:

$$a^n=\underset{n\text{ kez}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

Taban herhangi bir şey olabilir — bir sayı, hatta daha karmaşık bir ifade de. Hesap sırasında verilen ifadeyi üssün gösterdiği sayı kadar çarparsın. Örnekler:

$$\begin{array}{rcl}(-5{)}^3& =& (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\\ x^4& =& x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3{)}^2& =& (x+3)\cdot (x+3)\end{array}$$

Sıfıra eşit bir üs için a⁰ = 1 eşitliğini tanımlarız.

Negatif Üs

Bu bölümde üssün negatif olduğunu varsayacağız. Yorum ne olabilir? a⁰ = 1 olmasından yola çıkarız. a¹’i hesaplamak istersek, a⁰’ı a ifadesiyle çarptığımızı söyleyebiliriz. a⁰ = 1 olduğu için çarpımdan a⁰ · a = a elde ederiz. Yani a’yı buluruz. a²’yi hesaplamak istersek a² = a⁰ · a · a yazabiliriz.

a⁰ = 1 değeri için bunun başlangıç değerimiz olduğunu ve aⁿ hesapladığımızda yalnızca a⁰ değerini n kez a ile çarptığımızı söyleyebiliriz. n negatif olsaydı nasıl ilerlerdik? n pozitifse çarparız. n negatifse böleriz. Yani a⁻¹’i, başlangıç değeri a⁰’ı alıp bu değeri a ifadesine bölerek elde ederdik. Böylece şu denklemi buluruz:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac{1}{a}$$

a⁻²’yi bilmek istersek, a⁰’ı a’ya iki kez böleriz. Ne elde ederiz? Önce bölmeyi başka nasıl yazabileceğimizi söyleyelim. x/y bölümümüz varsa bunu şöyle de yazabiliriz

$$x\cdot \frac{1}{y}$$

Bu, kesirlerin temel özelliklerinden biridir. Yani bir x ifadesini y ifadesine iki kez bölmek istersek bunu şöyle yazabiliriz

$$x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{y}$$

a⁻² örneğine dönelim. Bunu, a⁰ ifadesini a’ya iki kez bölerek elde ettiğimizi söylemiştik. Bunu şöyle düzenleriz:

$$a^{-2}=a^0\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

Artık üssü negatif olan bir üslü ifadeyi nasıl hesaplayacağımızı biliyoruz. Üslü ifadeyi üs pozitifmiş gibi hesaplarız ve ardından biri üs almanın sonucuna bölerek değeri tersine çeviririz. Daha kesin yazarsak:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Burada −n’nin negatif bir sayı olduğunu, yani n’nin pozitif olduğunu varsayıyoruz.)

Birkaç örnek:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{-1}& =& \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\ 5^{-3}& =& \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3{)}^{-8}& =& \frac{1}{(2x+3{)}^8}\end{array}$$

Rasyonel Üs

Üssü tüm rasyonel sayılara da genişletebiliriz. Rasyonel sayı, kesir biçiminde, yani iki tam sayının bölümü olarak yazılabilen sayıdır. m/n biçiminde bir kesrimiz olsun, burada n pozitif bir sayıdır. O zaman şu formülü yazabiliriz

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

a^m’in üstündeki o çengel, kök işaretidir.

Üslü İfadelerin Özellikleri

• a ≠ 0 ise a⁰ = 1.
• a¹ = a.
• n > 0 ise 0ⁿ = 0.
• 0⁰ tanımsız bir ifadedir.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• a ≠ 0 ise $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.