Puissances et racines

L’élévation à une puissance est une opération mathématique qui, dit simplement, sert à écrire de façon abrégée une multiplication répétée.

Exposant naturel

Une puissance s’écrit aⁿ : on appelle n l’exposant et a la base. Nous nous intéresserons surtout à la forme de l’exposant. Dans cette partie, nous allons voir quelles sont les propriétés d’une puissance à exposant naturel, c’est-à-dire lorsque l’exposant vaut 1, 2, 3, 4, …

Un exemple d’une telle puissance est 6². Le six est la base, le deux est l’exposant. L’exposant indique combien de fois il faut multiplier le six pour obtenir le résultat, c’est-à-dire combien de fois il apparaît comme facteur. On a donc 6² = 6 · 6 = 36. Autre exemple : 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. De façon générale, on peut écrire :

$$a^n=\underset{n\text{ fois}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

La base peut être n’importe quoi : un nombre, mais aussi une expression plus compliquée. Lors du calcul, il suffit ensuite de multiplier cette expression autant de fois que l’indique l’exposant. Exemples :

$$\begin{array}{rcl}(-5{)}^3& =& (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\\ x^4& =& x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3{)}^2& =& (x+3)\cdot (x+3)\end{array}$$

Pour un exposant égal à zéro, on pose a⁰ = 1.

Exposant négatif

Dans cette partie, nous supposons que l’exposant est négatif. Quelle pourrait en être l’interprétation ? Partons de a⁰ = 1. Pour calculer a¹, on peut dire qu’on multiplie a⁰ par a. Comme a⁰ = 1, le produit donne a⁰ · a = a. On obtient donc a. Si l’on veut calculer a², on peut écrire a² = a⁰ · a · a.

On peut dire que a⁰ = 1 est notre valeur de départ et que, pour calculer aⁿ, on multiplie simplement a⁰ par a, n fois. Comment procéder si n est négatif ? Si n est positif, on multiplie ; si n est négatif, on divise. Ainsi, on obtient a⁻¹ en prenant la valeur de départ a⁰ et en la divisant par a. On obtient donc l’équation :

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac{1}{a}$$

Si l’on voulait connaître a⁻², il faudrait diviser a⁰ par a deux fois. Qu’obtient-on ? Commençons par rappeler une autre écriture de la division. Si l’on a un quotient x/y, on peut aussi l’écrire ainsi :

$$x\cdot \frac{1}{y}$$

C’est l’une des propriétés de base des fractions. Donc, si l’on veut diviser une expression x deux fois par une expression y, on peut écrire :

$$x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{y}$$

Revenons à l’exemple a⁻². Nous avons dit qu’on l’obtient en divisant a⁰ deux fois par a. Transformons :

$$a^{-2}=a^0\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

On dispose maintenant d’une méthode pour calculer une puissance à exposant négatif : on calcule la puissance comme si l’exposant était positif, puis on prend simplement l’inverse, c’est-à-dire qu’on divise un par le résultat. Écrit plus précisément :

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Ici on suppose que −n est strictement négatif, donc que n est strictement positif.)

Quelques exemples :

$$\begin{array}{rcl}{2}^{-1}& =& \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\ 5^{-3}& =& \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3{)}^{-8}& =& \frac{1}{(2x+3{)}^8}\end{array}$$

Exposant rationnel

On peut encore étendre l’exposant à tous les nombres rationnels. Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous forme de fraction, c’est-à-dire comme quotient de deux entiers relatifs. Considérons donc une fraction de la forme m/n, où n est strictement positif. On peut alors écrire la formule

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Le signe radical au-dessus de a^m désigne la racine.

Propriétés des puissances

• a⁰ = 1 si a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0 si n > 0.
• 0⁰ est une expression non définie.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ si a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.