Puteri și radicali

Ridicarea la putere este o operație matematică care, pe scurt, servește la scrierea prescurtată a înmulțirii repetate.

Exponent natural

Ridicarea la putere are forma aⁿ, unde pe n îl numim exponent, iar pe a îl numim bază. Ne va interesa în special forma exponentului. În această parte vedem ce proprietăți are o putere cu exponent număr natural nenul, adică atunci când exponentul este unul dintre numerele 1, 2, 3, 4, …

Un exemplu de asemenea putere este 6². Șase este baza, doi este exponentul. Exponentul ne spune de câte ori trebuie să înmulțim șase cu el însuși ca să obținem rezultatul. Deci 6² = 6 · 6 = 36. Un alt exemplu: 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. În general am putea scrie astfel:

$$a^n=\underset{n\text{ ori}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

Baza poate fi orice — un număr, dar și o expresie mai complicată. În timpul calculului pur și simplu înmulțești expresia respectivă de atâtea ori câte indică exponentul. Exemple:

$$\begin{array}{rcl}(-5{)}^3& =& (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\\ x^4& =& x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3{)}^2& =& (x+3)\cdot (x+3)\end{array}$$

Pentru exponentul egal cu zero se introduce egalitatea a⁰ = 1.

Exponent negativ

În această parte presupunem că exponentul este negativ. Cum am putea să-l interpretăm? Pornim de la a⁰ = 1. Dacă vrem să calculăm a¹, putem spune că înmulțim a⁰ cu a. Deoarece a⁰ = 1, prin produs obținem a⁰ · a = a. Obținem a. Dacă vrem să calculăm a², putem scrie a² = a⁰ · a · a.

Despre valoarea a⁰ = 1 putem spune că este valoarea noastră de pornire și, când calculăm aⁿ, doar înmulțim de n ori valoarea a⁰ cu a. Cum am proceda dacă n ar fi negativ? Dacă n este pozitiv, înmulțim. Dacă n este negativ, vom împărți. Deci pe a⁻¹ l-am obține luând valoarea inițială a⁰ și împărțind-o la a. Obținem astfel ecuația:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac{1}{a}$$

Dacă am vrea să aflăm a⁻², am împărți a⁰ la a de două ori. Ce am obține? Mai întâi spunem cum putem scrie altfel împărțirea. Dacă avem câtul x/y, îl putem scrie la fel de bine ca

$$x\cdot \frac{1}{y}$$

Aceasta este una dintre proprietățile de bază ale fracțiilor. Așadar, dacă vrem să împărțim o expresie x de două ori la expresia y, putem scrie

$$x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{y}$$

Să ne întoarcem la exemplul a⁻². Am spus că îl obținem împărțind expresia a⁰ de două ori la a. Aceasta o transformăm mai departe astfel:

$$a^{-2}=a^0\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

Acum avem deja procedeul de calcul al unei puteri cu exponent negativ. Calculăm puterea ca și cum exponentul ar fi pozitiv, iar apoi doar inversăm valoarea, împărțind unu la rezultatul ridicării la putere. Scris mai exact:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Aici presupunem că −n este un număr negativ, adică n este pozitiv.)

Câteva exemple:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{-1}& =& \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\ 5^{-3}& =& \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3{)}^{-8}& =& \frac{1}{(2x+3{)}^8}\end{array}$$

Exponent rațional

Exponentul poate fi extins mai departe la toate numerele raționale. Un număr rațional este un număr care se poate exprima sub formă de fracție, câtul a două numere întregi. Fie deci o fracție de forma m/n, unde n este un număr pozitiv. Atunci putem scrie formula

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Semnul acela cu cârlig de deasupra lui a^m este simbolul radicalului.

Proprietățile puterilor

• a⁰ = 1, dacă a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0, dacă n > 0.
• 0⁰ este o expresie nedefinită.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, dacă a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.