Potenzen und Wurzeln

Das Potenzieren ist, einfach gesagt, eine Rechenoperation, die zur verkürzten Schreibweise wiederholter Multiplikation dient.

Natürlicher Exponent

Das Potenzieren hat die Form aⁿ, wobei wir n als Exponent und a als Basis bezeichnen. Uns interessiert weiter vor allem die Form des Exponenten. In diesem Abschnitt zeigen wir, welche Eigenschaften eine Potenz mit natürlichem Exponenten hat, also wenn der Exponent eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, … ist.

Ein Beispiel für eine solche Potenz ist 6². Die Sechs ist die Basis, die Zwei der Exponent. Der Exponent sagt uns, wie oft wir die Sechs als Faktor nehmen müssen, um das Ergebnis zu erhalten. Es gilt also 6² = 6 · 6 = 36. Ein anderes Beispiel: 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Allgemein könnten wir es so schreiben:

$$a^n=\underset{n\text{-mal}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

Die Basis kann alles Mögliche sein – eine Zahl, aber ruhig auch ein komplizierterer Term. Bei der Rechnung multiplizierst du den gegebenen Term dann einfach so oft, wie der Exponent angibt. Beispiele:

$$\begin{array}{rcl}(-5{)}^3& =& (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\\ x^4& =& x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3{)}^2& =& (x+3)\cdot (x+3)\end{array}$$

Für den Exponenten null legen wir a⁰ = 1 fest.

Negativer Exponent

In diesem Abschnitt nehmen wir an, dass der Exponent negativ ist. Wie könnte man das interpretieren? Wir gehen davon aus, dass a⁰ = 1. Wollen wir a¹ berechnen, könnten wir sagen, dass wir a⁰ mit dem Term a multiplizieren. Weil a⁰ = 1 ist, erhalten wir als Produkt a⁰ · a = a. Wir erhalten a. Wollen wir a² berechnen, können wir a² = a⁰ · a · a schreiben.

Vom Wert a⁰ = 1 können wir sagen, dass er unser Ausgangswert ist, und wenn wir aⁿ berechnen, multiplizieren wir den Wert a⁰ nur n-mal mit dem Term a. Wie würden wir vorgehen, wenn n negativ wäre? Ist n positiv, multiplizieren wir. Ist n negativ, dividieren wir. a⁻¹ würden wir also erhalten, indem wir den Anfangswert a⁰ nehmen und diesen Wert durch den Term a dividieren. So erhalten wir die Gleichung:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac{1}{a}$$

Wollten wir a⁻² kennen, würden wir a⁰ zweimal durch a dividieren. Was erhalten wir? Zuerst sagen wir, wie man die Division anders schreiben kann. Haben wir den Quotienten x/y, können wir ihn genauso schreiben als

$$x\cdot \frac{1}{y}$$

Das ist eine der grundlegenden Eigenschaften von Brüchen. Wollen wir also einen Term x zweimal durch den Term y dividieren, können wir das schreiben als

$$x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{y}$$

Kehren wir zum Beispiel a⁻² zurück. Wir haben gesagt, dass wir es erhalten, indem wir den Term a⁰ zweimal durch a dividieren. Das formen wir weiter so um:

$$a^{-2}=a^0\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

Jetzt haben wir schon ein Verfahren, wie man eine Potenz mit negativem Exponenten berechnet. Wir berechnen die Potenz, als wäre der Exponent positiv, und bilden anschließend den Kehrwert, indem wir eins durch das Ergebnis des Potenzierens dividieren. Genauer geschrieben:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Hier nehmen wir an, dass −n eine negative Zahl ist, also n positiv.)

Einige Beispiele:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{-1}& =& \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\ 5^{-3}& =& \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3{)}^{-8}& =& \frac{1}{(2x+3{)}^8}\end{array}$$

Rationaler Exponent

Den Exponenten können wir weiter auf alle rationalen Zahlen erweitern. Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die sich in Form eines Bruchs ausdrücken lässt, als Quotient zweier ganzer Zahlen. Wir haben also einen Bruch der Form m/n, wobei n eine positive Zahl ist. Dann können wir die Formel schreiben

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Der Schnörkel über a^m ist das Zeichen für die Wurzel.

Eigenschaften von Potenzen

• a⁰ = 1, wenn a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0, wenn n > 0.
• 0⁰ ist nicht definiert.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, wenn a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.