Potenser og rødder

Opløftning i potens er en matematisk funktion, der, enkelt sagt, bruges som en forkortet skrivemåde for gentagen multiplikation.

Naturlig eksponent

Opløftning i potens har formen aⁿ, hvor udtrykket n kaldes eksponenten, og udtrykket a kaldes grundtallet. Herefter vil vi især interessere os for eksponentens form. I dette afsnit viser vi, hvilke egenskaber en potens med naturlig eksponent har, altså når eksponenten er tallet 1, 2, 3, 4, …

Et eksempel på sådan en potens er 6². Seksen er grundtallet, toeren er eksponenten. Eksponenten fortæller os, hvor mange gange vi skal gange seksen med sig selv for at få resultatet. Så det gælder, at 6² = 6 · 6 = 36. Et andet eksempel er 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Generelt kunne vi skrive det sådan her:

$$a^n=\underset{n\text{ gange}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

Grundtallet kan være hvad som helst — et tal, men gerne også et mere kompliceret udtryk. Under udregningen ganger du så bare det givne udtryk med sig selv lige så mange gange, som eksponenten angiver. Eksempler:

$$\begin{array}{rcl}(-5{)}^3& =& (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\\ x^4& =& x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3{)}^2& =& (x+3)\cdot (x+3)\end{array}$$

For en eksponent, der er lig med nul, indfører vi ligheden a⁰ = 1.

Negativ eksponent

I dette afsnit antager vi, at eksponenten er negativ. Hvordan kunne det fortolkes? Vi tager udgangspunkt i, at a⁰ = 1. Hvis vi vil beregne a¹, kan vi sige, at vi ganger a⁰ med udtrykket a. Da a⁰ = 1, får vi som produkt a⁰ · a = a. Vi får a. Hvis vi vil beregne a², kan vi skrive a² = a⁰ · a · a.

Om værdien a⁰ = 1 kan vi sige, at den er vores startværdi, og når vi beregner aⁿ, ganger vi bare startværdien a⁰ med udtrykket a i alt n gange. Hvordan skulle vi gøre, hvis n var negativt? Hvis n er positivt, ganger vi. Hvis n er negativt, dividerer vi. Så a⁻¹ får vi ved at tage startværdien a⁰ og dividere den med udtrykket a. Vi får således ligningen:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac{1}{a}$$

Hvis vi ville kende a⁻², skulle vi dividere a⁰ med a to gange. Hvad får vi så? Først skal vi se på, hvordan division ellers kan skrives. Hvis vi har kvotienten x/y, kan vi lige så godt skrive den som

$$x\cdot \frac{1}{y}$$

Det er en af de grundlæggende egenskaber ved brøker. Så hvis vi vil dividere et udtryk x med udtrykket y to gange, kan vi skrive det som

$$x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{y}$$

Lad os vende tilbage til eksemplet a⁻². Vi sagde, at det får vi ved at dividere udtrykket a⁰ med a to gange. Det omformer vi videre sådan her:

$$a^{-2}=a^0\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

Nu har vi allerede en fremgangsmåde til at beregne en potens med negativ eksponent. Vi beregner potensen, som om eksponenten var positiv, og tager derefter den reciprokke værdi ved at dividere 1 med resultatet af opløftningen. Mere præcist skrevet:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Her antager vi, at −n er et negativt tal, altså at n er positivt.)

Så et par eksempler:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{-1}& =& \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\ 5^{-3}& =& \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3{)}^{-8}& =& \frac{1}{(2x+3{)}^8}\end{array}$$

Rationel eksponent

Eksponenten kan vi yderligere udvide til alle rationale tal. Et rationalt tal er et tal, der kan udtrykkes som en brøk, altså som en kvotient af to hele tal. Tag en brøk på formen m/n, hvor n er et positivt tal. Så kan vi skrive formlen

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Det snørklede tegn over a^m er tegnet for en rod.

Beregner

Hvis du skal beregne en potens, kan du bruge vores beregner til potenser 🧮.

Regneregler for potenser

• a⁰ = 1, hvis a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0, hvis n > 0.
• 0⁰ er et udefineret udtryk.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, hvis a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.