Степени и корени

Степенуването е математическа функция, която, просто казано, служи за съкратен запис на многократно умножение.

Естествен степенен показател

Степенуването има вида aⁿ, където на израза n казваме степенен показател, а на израза a казваме основа. Нататък ще ни интересува предимно видът на степенния показател. В тази част ще покажем какви свойства има степента с естествен степенен показател, тоест когато степенният показател е числото 1, 2, 3, 4, …

Пример за такава степен е 6². Шестицата е основата, двойката е степенният показател. Степенният показател ни казва колко пъти поред трябва да умножим шестицата, за да получим резултата. Така че е в сила 6² = 6 · 6 = 36. Друг пример 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Общо бихме го записали така:

$$a^n=\underset{n\text{ пъти}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

Основата може да бъде каквото и да е – число, но спокойно и по-сложен израз. По време на пресмятането просто умножаваш дадения израз толкова пъти, колкото показва степенният показател. Примери:

$$\begin{array}{rcl}(-5{)}^3& =& (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\\ x^4& =& x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3{)}^2& =& (x+3)\cdot (x+3)\end{array}$$

За степенен показател, който е равен на нула, въвеждаме равенството a⁰ = 1.

Отрицателен степенен показател

В тази част ще предполагаме, че степенният показател е отрицателен. Каква би могла да бъде интерпретацията? Тръгваме от това, че a⁰ = 1. Ако искаме да пресметнем a¹, бихме могли да кажем, че умножаваме a⁰ по израза a. Тъй като a⁰ = 1, с произведението получаваме a⁰ · a = a. Получаваме a. Ако искаме да пресметнем a², можем да запишем a² = a⁰ · a · a.

За стойността a⁰ = 1 можем да кажем, че е нашата изходна стойност и когато пресмятаме aⁿ, само n пъти умножаваме стойността a⁰ по израза a. Как бихме постъпили, ако n беше отрицателно? Ако n е положително, умножаваме. Ако n е отрицателно, ще делим. Така че a⁻¹ бихме получили, като вземем началната стойност a⁰ и разделим тази стойност на израза a. Така получаваме равенството:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac{1}{a}$$

Ако искахме да знаем a⁻², бихме разделили a⁰ на израза a два пъти. Какво бихме получили? Първо ще кажем как можем да запишем делението по друг начин. Ако имаме частното x/y, можем да го запишем също така като

$$x\cdot \frac{1}{y}$$

Това е едно от основните свойства на дробите. Така че ако искаме да разделим някакъв израз x два пъти на израза y, можем да го запишем като

$$x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{y}$$

Да се върнем към примера a⁻². Казахме, че го получаваме, като разделим израза a⁰ два пъти на a. Това преобразуваме по-нататък така:

$$a^{-2}=a^0\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

В този момент вече имаме начин как да пресметнем степен с отрицателен степенен показател. Пресмятаме степента, сякаш степенният показател е положителен, и след това само обръщаме стойността, като разделим едно на резултата от степенуването. Записано по-точно:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Тук предполагаме, че −n е отрицателно число, тоест n е положително.)

Така че няколко примера:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{-1}& =& \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\ 5^{-3}& =& \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3{)}^{-8}& =& \frac{1}{(2x+3{)}^8}\end{array}$$

Рационален степенен показател

Степенния показател можем да разширим по-нататък за всички рационални числа. Рационално число е такова число, което може да се изрази във вид на дроб, частно на две цели числа. Нека имаме дроб във вида m/n, където n е положително число. Тогава можем да запишем формулата

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Онази драсканица над a^m е знакът за корен.

Калкулатор

Ако трябва да пресметнеш степен, можеш да използваш нашия калкулатор за степени 🧮.

Свойства на степените

• a⁰ = 1, ако a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0, ако n > 0.
• 0⁰ е недефиниран израз.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, ако a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.