Δυνάμεις και ρίζες

Η ύψωση σε δύναμη είναι μια μαθηματική συνάρτηση που, με απλά λόγια, χρησιμεύει για τη σύντομη γραφή του επαναλαμβανόμενου πολλαπλασιασμού.

Φυσικός εκθέτης

Η ύψωση σε δύναμη έχει τη μορφή aⁿ, όπου την παράσταση n τη λέμε εκθέτη και την παράσταση a τη λέμε βάση. Στη συνέχεια θα μας απασχολήσει κυρίως η μορφή του εκθέτη. Σε αυτό το μέρος θα δούμε ποιες ιδιότητες έχει η δύναμη με φυσικό εκθέτη, δηλαδή όταν ο εκθέτης είναι ο αριθμός 1, 2, 3, 4, …

Παράδειγμα τέτοιας δύναμης είναι η 6². Το έξι είναι η βάση, το δύο είναι ο εκθέτης. Ο εκθέτης μας λέει πόσες φορές στη σειρά πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το έξι, για να πάρουμε το αποτέλεσμα. Άρα ισχύει 6² = 6 · 6 = 36. Ένα άλλο παράδειγμα 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Γενικά θα μπορούσαμε να το γράψουμε ως εξής:

$$a^n=\underset{n\text{ φορές}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

Βάση μπορεί να είναι οτιδήποτε – ένας αριθμός, αλλά κάλλιστα και μια πιο περίπλοκη παράσταση. Κατά τον υπολογισμό απλώς πολλαπλασιάζεις την παράσταση τόσες φορές όσες δείχνει ο εκθέτης. Παραδείγματα:

$$\begin{array}{rcl}(-5{)}^3& =& (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\\ x^4& =& x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3{)}^2& =& (x+3)\cdot (x+3)\end{array}$$

Για εκθέτη ίσο με μηδέν ορίζουμε την ισότητα a⁰ = 1.

Αρνητικός εκθέτης

Σε αυτό το μέρος θα υποθέσουμε ότι ο εκθέτης είναι αρνητικός. Ποια θα μπορούσε να είναι η ερμηνεία; Ξεκινάμε από το ότι a⁰ = 1. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το a¹, θα μπορούσαμε να πούμε ότι πολλαπλασιάζουμε το a⁰ με την παράσταση a. Επειδή a⁰ = 1, με το γινόμενο παίρνουμε a⁰ · a = a. Παίρνουμε a. Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το a², μπορούμε να γράψουμε a² = a⁰ · a · a.

Για την τιμή a⁰ = 1 μπορούμε να πούμε ότι είναι η αρχική μας τιμή και όταν υπολογίζουμε το aⁿ, απλώς πολλαπλασιάζουμε n φορές την τιμή a⁰ με την παράσταση a. Πώς θα προχωρούσαμε, αν το n ήταν αρνητικό; Αν το n είναι θετικό, πολλαπλασιάζουμε. Αν το n είναι αρνητικό, θα διαιρούμε. Άρα το a⁻¹ θα το παίρναμε ως εξής: θα παίρναμε την αρχική τιμή a⁰ και θα τη διαιρούσαμε με την παράσταση a. Παίρνουμε έτσι την ισότητα:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac{1}{a}$$

Αν θέλαμε να ξέρουμε το a⁻², θα διαιρούσαμε το a⁰ δύο φορές με την παράσταση a. Τι θα παίρναμε; Πρώτα θα πούμε με ποιον άλλον τρόπο μπορούμε να γράψουμε τη διαίρεση. Αν έχουμε το πηλίκο x/y, μπορούμε εξίσου να το γράψουμε ως

$$x\cdot \frac{1}{y}$$

Αυτή είναι μία από τις βασικές ιδιότητες των κλασμάτων. Άρα αν θέλουμε να διαιρέσουμε μια παράσταση x δύο φορές με την παράσταση y, μπορούμε να το γράψουμε ως

$$x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{y}$$

Ας γυρίσουμε στο παράδειγμα a⁻². Είπαμε ότι το παίρνουμε διαιρώντας την παράσταση a⁰ δύο φορές με το a. Αυτό το επεξεργαζόμαστε περαιτέρω ως εξής:

$$a^{-2}=a^0\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

Τώρα πια έχουμε τη διαδικασία για να υπολογίσουμε δύναμη με αρνητικό εκθέτη. Υπολογίζουμε τη δύναμη σαν να ήταν ο εκθέτης θετικός και στη συνέχεια απλώς αντιστρέφουμε την τιμή, διαιρώντας το ένα με το αποτέλεσμα της ύψωσης σε δύναμη. Γραμμένο πιο ακριβώς:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Εδώ υποθέτουμε ότι το −n είναι αρνητικός αριθμός, δηλαδή το n είναι θετικό.)

Μερικά παραδείγματα λοιπόν:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{-1}& =& \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\ 5^{-3}& =& \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3{)}^{-8}& =& \frac{1}{(2x+3{)}^8}\end{array}$$

Ρητός εκθέτης

Τον εκθέτη μπορούμε να τον επεκτείνουμε σε όλους τους ρητούς αριθμούς. Ρητός αριθμός είναι ένας αριθμός που μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή κλάσματος, πηλίκου δύο ακεραίων. Έστω λοιπόν ένα κλάσμα της μορφής m/n, όπου το n είναι θετικός αριθμός. Τότε μπορούμε να γράψουμε τον τύπο

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Αυτό το ορνιθοσκάλισμα πάνω από το a^m είναι το σύμβολο της ρίζας.

Ιδιότητες των δυνάμεων

• a⁰ = 1, αν a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0, αν n > 0.
• Η παράσταση 0⁰ δεν ορίζεται.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, αν a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.