Machten en wortels

Machtsverheffen is een wiskundige functie die, eenvoudig gezegd, dient als een verkorte schrijfwijze van herhaald vermenigvuldigen.

Natuurlijke exponent

Machtsverheffen heeft de vorm aⁿ, waarbij we n de exponent noemen en a het grondtal. Verder zijn we vooral geïnteresseerd in de vorm van de exponent. In dit deel laten we zien welke eigenschappen een macht met een natuurlijke exponent heeft, dus als de exponent een van de getallen 1, 2, 3, 4, … is.

Een voorbeeld van zo'n macht is 6². De zes is het grondtal, de twee is de exponent. De exponent vertelt ons hoe vaak we de zes met zichzelf moeten vermenigvuldigen om het resultaat te krijgen. Dus geldt 6² = 6 · 6 = 36. Een ander voorbeeld is 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. In het algemeen kunnen we het zo opschrijven:

$$a^n=\underset{n\text{ keer}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

Het grondtal kan van alles zijn — een getal, maar gerust ook een ingewikkelder uitdrukking. Tijdens het rekenen vermenigvuldig je die uitdrukking dan gewoon zo vaak als de exponent aangeeft. Voorbeelden:

$$\begin{array}{rcl}(-5{)}^3& =& (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\\ x^4& =& x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3{)}^2& =& (x+3)\cdot (x+3)\end{array}$$

Voor een exponent die gelijk is aan nul voeren we de gelijkheid a⁰ = 1 in.

Negatieve exponent

In dit deel gaan we ervan uit dat de exponent negatief is. Wat zou de interpretatie kunnen zijn? We gaan uit van a⁰ = 1. Als we a¹ willen berekenen, kunnen we zeggen dat we a⁰ vermenigvuldigen met a. Omdat a⁰ = 1, krijgen we als product a⁰ · a = a. We krijgen a. Als we a² willen berekenen, kunnen we schrijven a² = a⁰ · a · a.

Over de waarde a⁰ = 1 kunnen we zeggen dat het onze beginwaarde is en dat als we aⁿ berekenen, we de waarde a⁰ alleen n keer met a vermenigvuldigen. Hoe zouden we te werk gaan als n negatief was? Als n positief is, vermenigvuldigen we. Als n negatief is, gaan we delen. Dus a⁻¹ zouden we krijgen door de beginwaarde a⁰ te nemen en die waarde door a te delen. Zo krijgen we de vergelijking:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac{1}{a}$$

Als we a⁻² willen weten, zouden we a⁰ twee keer door a delen. Wat zouden we krijgen? Eerst zeggen we hoe we delen ook anders kunnen opschrijven. Als we het quotiënt x/y hebben, kunnen we dat net zo goed schrijven als

$$x\cdot \frac{1}{y}$$

Het is een van de basiseigenschappen van breuken. Als we dus een uitdrukking x twee keer door een uitdrukking y willen delen, kunnen we dat schrijven als

$$x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{y}$$

Laten we terugkeren naar het voorbeeld a⁻². We zeiden dat we dat krijgen door de uitdrukking a⁰ twee keer door a te delen. Dat werken we verder zo uit:

$$a^{-2}=a^0\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

Nu hebben we al een werkwijze om een macht met een negatieve exponent te berekenen. We berekenen de macht alsof de exponent positief was en nemen daarna gewoon het omgekeerde door één te delen door de uitkomst van het machtsverheffen. Preciezer opgeschreven:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Hier gaan we ervan uit dat −n een negatief getal is, dus dat n positief is.)

Enkele voorbeelden:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{-1}& =& \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\ 5^{-3}& =& \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3{)}^{-8}& =& \frac{1}{(2x+3{)}^8}\end{array}$$

Rationale exponent

De exponent kunnen we verder uitbreiden tot alle rationale getallen. Een rationaal getal is een getal dat kan worden uitgedrukt in de vorm van een breuk, het quotiënt van twee gehele getallen. Neem dus een breuk van de vorm m/n, waarbij n een positief getal is. Dan kunnen we de formule opschrijven

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Dat krulletje boven a^m is het teken voor de wortel.

Rekenmachine

Als je een macht moet berekenen, kun je onze rekenmachine voor machten 🧮 gebruiken.

Eigenschappen van machten

• a⁰ = 1, als a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0, als n > 0.
• 0⁰ is een ongedefinieerde uitdrukking.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, als a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.