Potenssit ja juuret

Potenssiin korotus on laskutoimitus, jonka avulla toistuva kertolasku voidaan yksinkertaisesti sanottuna kirjoittaa lyhyemmin.

Positiivinen kokonaislukueksponentti

Potenssin muoto on aⁿ, jossa n:ää kutsutaan eksponentiksi ja a:ta kantaluvuksi. Jatkossa kiinnostavin asia on eksponentin muoto. Tässä osassa tarkastellaan, millaisia ominaisuuksia on potenssilla, jonka eksponentti on positiivinen kokonaisluku, eli eksponentti on luku 1, 2, 3, 4, …

Esimerkki tällaisesta potenssista on 6². Kuusi on kantaluku ja kaksi on eksponentti. Eksponentti kertoo, montako kertaa kuusi kerrotaan itsellään, jotta saadaan tulos. Näin ollen 6² = 6 · 6 = 36. Toinen esimerkki: 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Yleisesti tämä voitaisiin kirjoittaa näin:

$$a^n=\underset{n\text{ kertaa}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

Kantalukuna voi olla mikä tahansa — luku tai vaikka monimutkaisempi lauseke. Laskettaessa kyseinen lauseke kerrotaan itsellään niin monta kertaa kuin eksponentti ilmoittaa. Esimerkkejä:

$$\begin{array}{rcl}(-5{)}^3& =& (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\\ x^4& =& x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3{)}^2& =& (x+3)\cdot (x+3)\end{array}$$

Eksponentille nolla määritellään yhtäsuuruus a⁰ = 1.

Negatiivinen eksponentti

Oletetaan tässä osassa, että eksponentti on negatiivinen. Miten se voitaisiin tulkita? Lähdetään siitä, että a⁰ = 1. Jos halutaan laskea a¹, voitaisiin sanoa, että kerrotaan a⁰ lausekkeella a. Koska a⁰ = 1, tulona saadaan a⁰ · a = a. Saadaan a. Jos halutaan laskea a², voidaan kirjoittaa a² = a⁰ · a · a.

Arvosta a⁰ = 1 voidaan sanoa, että se on lähtöarvo, ja kun lasketaan aⁿ, kerrotaan arvo a⁰ lausekkeella a vain n kertaa. Miten edettäisiin, jos n olisi negatiivinen? Jos n on positiivinen, kerrotaan. Jos n on negatiivinen, jaetaan. Luku a⁻¹ saataisiin siis niin, että otettaisiin alkuarvo a⁰ ja jaettaisiin se lausekkeella a. Saadaan yhtälö:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac{1}{a}$$

Jos haluttaisiin tietää a⁻², jaettaisiin a⁰ lausekkeella a kaksi kertaa. Mitä saataisiin? Ensin todetaan, miten jakolasku voidaan kirjoittaa toisin. Jos on osamäärä x/y, se voidaan yhtä hyvin kirjoittaa muodossa

$$x\cdot \frac{1}{y}$$

Se on yksi murtolukujen perusominaisuuksista. Jos siis jokin lauseke x halutaan jakaa lausekkeella y kaksi kertaa, se voidaan kirjoittaa muodossa

$$x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{y}$$

Palataan esimerkkiin a⁻². Sanottiin, että se saadaan jakamalla lauseke a⁰ luvulla a kaksi kertaa. Tämä muokataan edelleen näin:

$$a^{-2}=a^0\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

Nyt on käytössä menetelmä, jolla negatiivisen eksponentin potenssi lasketaan. Potenssi lasketaan ikään kuin eksponentti olisi positiivinen, ja sen jälkeen tuloksesta otetaan käänteisluku eli yksi jaetaan potenssin arvolla. Tarkemmin kirjoitettuna:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Tässä oletetaan, että −n on negatiivinen luku eli n on positiivinen.)

Muutama esimerkki:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{-1}& =& \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\ 5^{-3}& =& \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3{)}^{-8}& =& \frac{1}{(2x+3{)}^8}\end{array}$$

Rationaalinen eksponentti

Eksponentin voi laajentaa koskemaan kaikkia rationaalilukuja. Rationaaliluku on sellainen luku, joka voidaan ilmaista murtolukuna eli kahden kokonaisluvun osamääränä. Olkoon murtoluku muotoa m/n, jossa n on positiivinen luku. Silloin voidaan kirjoittaa kaava

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Tuo a^m:n päällä oleva koukero on juurimerkki.

Laskin

Jos tarvitset potenssin laskemiseen apua, voit käyttää tämän sivuston potenssilaskinta 🧮.

Potenssien laskusäännöt

• a⁰ = 1, jos a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0, jos n > 0.
• 0⁰ on määrittelemätön lauseke.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, jos a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.