Potenser och rötter

Potensering är en matematisk operation som, enkelt uttryckt, ger en kortare skrivning av upprepad multiplikation.

Positiv heltalsexponent

Potensering har formen aⁿ, där n kallas exponent och a kallas bas. Vidare är det framför allt exponentens form som intresserar oss. I det här avsnittet visar vi vilka egenskaper en potens med positiv heltalsexponent har, alltså när exponenten är ett av talen 1, 2, 3, 4, …

Ett exempel på en sådan potens är 6². Sexan är basen och tvåan är exponenten. Exponenten talar om hur många gånger i rad vi ska multiplicera sexan för att få resultatet. Alltså gäller 6² = 6 · 6 = 36. Ett annat exempel är 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Allmänt kan vi skriva det så här:

$$a^n=\underset{n\text{ gånger}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

Basen kan vara vad som helst — ett tal, men gärna också ett mer komplicerat uttryck. Vid beräkningen multiplicerar du sedan uttrycket med sig självt lika många gånger som exponenten anger. Exempel:

$$\begin{array}{rcl}(-5{)}^3& =& (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\\ x^4& =& x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3{)}^2& =& (x+3)\cdot (x+3)\end{array}$$

För exponenten noll inför vi likheten a⁰ = 1.

Negativ exponent

I det här avsnittet antar vi att exponenten är negativ. Hur kan det tolkas? Vi utgår från att a⁰ = 1. Om vi vill beräkna a¹ kan vi säga att vi multiplicerar a⁰ med a. Eftersom a⁰ = 1 får vi produkten a⁰ · a = a. Vi får alltså a. Om vi vill beräkna a² kan vi skriva a² = a⁰ · a · a.

Om värdet a⁰ = 1 kan vi säga att det är vårt utgångsvärde, och när vi beräknar aⁿ multiplicerar vi bara värdet a⁰ med a n gånger. Hur skulle vi göra om n vore negativt? Om n är positivt multiplicerar vi. Om n är negativt ska vi dividera. Vi får alltså a⁻¹ genom att ta utgångsvärdet a⁰ och dividera det med a. Vi får därmed ekvationen:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac{1}{a}$$

Om vi ville veta a⁻² skulle vi dividera a⁰ med a två gånger. Vad skulle vi få? Först påminner vi om hur vi annars kan skriva division. Om vi har kvoten x/y kan vi lika gärna skriva den som

$$x\cdot \frac{1}{y}$$

Det är en av bråkens grundläggande egenskaper. Om vi alltså vill dividera ett uttryck x med uttrycket y två gånger kan vi skriva det som

$$x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{y}$$

Vi återvänder till exemplet a⁻². Vi sade att vi får det genom att dividera uttrycket a⁰ med a två gånger. Det förenklar vi så här:

$$a^{-2}=a^0\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

Nu har vi en metod för att beräkna en potens med negativ exponent. Vi beräknar potensen som om exponenten vore positiv och inverterar sedan värdet genom att dividera ett med resultatet av potenseringen. Mer exakt skrivet:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Här antar vi att −n är ett negativt tal, alltså att n är positivt.)

Några exempel:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{-1}& =& \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\ 5^{-3}& =& \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3{)}^{-8}& =& \frac{1}{(2x+3{)}^8}\end{array}$$

Rationell exponent

Exponenten kan vi vidare utvidga till alla rationella tal. Ett rationellt tal är ett tal som kan uttryckas som ett bråk, en kvot av två heltal. Ta alltså ett bråk på formen m/n, där n är ett positivt tal. Då kan vi skriva formeln

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Krumeluren över a^m är tecknet för en rot.

Kalkylator

Om du behöver räkna ut en potens kan du använda vår kalkylator för potenser 🧮.

Potensernas egenskaper

• a⁰ = 1, om a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0, om n > 0.
• 0⁰ är ett odefinierat uttryck.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, om a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.