Potenser og røtter

Potensering er en matematisk funksjon som, enkelt sagt, brukes som en kortere skrivemåte for gjentatt multiplikasjon.

Naturlig eksponent

Potensering har formen aⁿ, der n kalles eksponenten og a kalles grunntallet. Videre er det først og fremst formen på eksponenten som interesserer oss. I denne delen viser vi hvilke egenskaper en potens med naturlig eksponent har, altså når eksponenten er et av tallene 1, 2, 3, 4, …

Et eksempel på en slik potens er 6². Seks er grunntallet, og to er eksponenten. Eksponenten forteller oss hvor mange ganger vi skal gange seks med seg selv for å få resultatet. Altså gjelder 6² = 6 · 6 = 36. Et annet eksempel er 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Generelt kan vi skrive det slik:

$$a^n=\underset{n\text{ ganger}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

Grunntallet kan være hva som helst: et tall, men gjerne også et mer sammensatt uttrykk. Under utregningen ganger du bare uttrykket med seg selv så mange ganger som eksponenten angir. Eksempler:

$$\begin{array}{rcl}(-5{)}^3& =& (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\\ x^4& =& x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3{)}^2& =& (x+3)\cdot (x+3)\end{array}$$

For eksponent lik null innfører vi likheten a⁰ = 1.

Negativ eksponent

I denne delen antar vi at eksponenten er negativ. Hvordan kan vi tolke det? Vi tar utgangspunkt i at a⁰ = 1. Hvis vi vil regne ut a¹, kan vi si at vi ganger a⁰ med uttrykket a. Siden a⁰ = 1, får vi produktet a⁰ · a = a. Vi får a. Hvis vi vil regne ut a², kan vi skrive a² = a⁰ · a · a.

Om verdien a⁰ = 1 kan vi si at den er startverdien vår, og når vi regner ut aⁿ, ganger vi bare verdien a⁰ med uttrykket a n ganger. Hvordan går vi fram hvis n er negativ? Hvis n er positiv, ganger vi. Hvis n er negativ, deler vi. Vi får altså a⁻¹ ved å ta startverdien a⁰ og dele den på uttrykket a. Da får vi likningen:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac{1}{a}$$

Hvis vi vil finne a⁻², deler vi a⁰ på a to ganger. Hva får vi? Først minner vi om at divisjon kan skrives på en annen måte. Hvis vi har kvotienten x/y, kan vi like gjerne skrive den som

$$x\cdot \frac{1}{y}$$

Det er en av de grunnleggende egenskapene til brøker. Så hvis vi vil dele et uttrykk x to ganger på uttrykket y, kan vi skrive det som

$$x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{y}$$

La oss gå tilbake til eksempelet a⁻². Vi sa at vi får det ved å dele uttrykket a⁰ på a to ganger. Det omformer vi videre slik:

$$a^{-2}=a^0\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

Nå har vi en framgangsmåte for å regne ut en potens med negativ eksponent. Vi regner ut potensen som om eksponenten var positiv, og så snur vi verdien ved å dele én på resultatet av potenseringen. Skrevet mer presist:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Her antar vi at −n er et negativt tall, altså at n er positiv.)

Noen eksempler:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{-1}& =& \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\ 5^{-3}& =& \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3{)}^{-8}& =& \frac{1}{(2x+3{)}^8}\end{array}$$

Rasjonal eksponent

Eksponenten kan vi videre utvide til alle rasjonale tall. Et rasjonalt tall er et tall som kan skrives som en brøk, en kvotient av to hele tall. La oss ha en brøk på formen m/n, der n er et positivt tall. Da kan vi skrive formelen

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Tegnet over a^m er symbolet for rot.

Kalkulator

Hvis du trenger å regne ut en potens, kan du bruke potenskalkulatoren vår 🧮.

Regler for potenser

• a⁰ = 1, hvis a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0, hvis n > 0.
• 0⁰ er et udefinert uttrykk.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, hvis a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.