Potências e raízes

A potenciação é uma função matemática que, dito de forma simples, serve para abreviar a escrita de uma multiplicação repetida.

Expoente natural

A potenciação tem a forma aⁿ, em que a expressão n é chamada de expoente e a expressão a, de base. A seguir nos interessará principalmente a forma do expoente. Nesta parte vamos mostrar quais propriedades tem a potência com expoente natural, ou seja, quando o expoente é um dos números 1, 2, 3, 4, …

Um exemplo dessa potência é 6². O seis é a base, o dois é o expoente. O expoente nos diz quantas vezes seguidas devemos multiplicar o seis para obter o resultado. Assim, vale 6² = 6 · 6 = 36. Outro exemplo: 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. De modo geral, poderíamos escrever assim:

$$a^n=\underset{n\text{ vezes}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

A base pode ser qualquer coisa — um número, mas também uma expressão mais complicada. Durante o cálculo, basta multiplicar a expressão dada tantas vezes quantas o expoente indica. Exemplos:

$$\begin{array}{rcl}(-5{)}^3& =& (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\\ x^4& =& x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3{)}^2& =& (x+3)\cdot (x+3)\end{array}$$

Para o expoente igual a zero, adotamos a igualdade a⁰ = 1.

Expoente negativo

Nesta parte vamos supor que o expoente é negativo. Qual poderia ser a interpretação? Partimos de que a⁰ = 1. Se queremos calcular a¹, poderíamos dizer que multiplicamos a⁰ pela expressão a. Como a⁰ = 1, o produto nos dá a⁰ · a = a. Obtemos a. Se quisermos calcular a², podemos escrever a² = a⁰ · a · a.

Sobre o valor a⁰ = 1 podemos dizer que é o nosso valor de partida e, quando calculamos aⁿ, apenas multiplicamos n vezes o valor a⁰ pela expressão a. Como procederíamos se n fosse negativo? Se n é positivo, multiplicamos. Se n é negativo, vamos dividir. Assim, obteríamos a⁻¹ tomando o valor inicial a⁰ e dividindo esse valor pela expressão a. Obtemos assim a equação:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac{1}{a}$$

Se quiséssemos saber a⁻², dividiríamos a⁰ pela expressão a duas vezes. O que obteríamos? Primeiro vamos ver como podemos escrever a divisão de outro modo. Se temos o quociente x/y, podemos escrevê-lo igualmente como

$$x\cdot \frac{1}{y}$$

É uma das propriedades básicas das frações. Assim, se queremos dividir uma expressão x duas vezes pela expressão y, podemos escrever isso como

$$x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{y}$$

Voltemos ao exemplo a⁻². Dissemos que o obtemos dividindo a expressão a⁰ duas vezes por a. Desenvolvemos isso assim:

$$a^{-2}=a^0\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

Neste momento já temos o procedimento para calcular uma potência com expoente negativo. Calculamos a potência como se o expoente fosse positivo e depois apenas invertemos o valor, dividindo um pelo resultado da potenciação. Escrito de forma mais precisa:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Aqui supomos que −n é um número negativo, ou seja, n é positivo.)

Então, alguns exemplos:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{-1}& =& \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\ 5^{-3}& =& \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3{)}^{-8}& =& \frac{1}{(2x+3{)}^8}\end{array}$$

Expoente racional

O expoente pode ainda ser estendido a todos os números racionais. Número racional é aquele que pode ser expresso na forma de fração, o quociente de dois números inteiros. Seja então uma fração da forma m/n, em que n é um número positivo. Então podemos escrever a fórmula

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Aquele rabisco sobre a^m é o símbolo da raiz.

Calculadora

Se você precisar calcular uma potência, pode usar a nossa calculadora de potências 🧮.

Propriedades das potências

• a⁰ = 1, se a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0, se n > 0.
• 0⁰ é uma expressão indefinida.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, se a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.