Hatványok és gyökök

A hatványozás olyan matematikai művelet, amely – egyszerűen szólva – az ismételt szorzás rövidített felírására szolgál.

Természetes kitevő

A hatványozás alakja aⁿ, ahol az n-et kitevőnek, az a-t pedig alapnak nevezzük. A továbbiakban főként a kitevő fajtája érdekel minket. Ebben a részben megmutatjuk, milyen tulajdonságai vannak a természetes kitevős hatványnak, vagyis amikor a kitevő 1, 2, 3, 4, …

Ilyen hatvány például a 6². A hatos az alap, a kettes a kitevő. A kitevő megmondja, hányszor kell egymás után összeszorozni a hatost, hogy megkapjuk az eredményt. Tehát 6² = 6 · 6 = 36. Másik példa: 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Általánosan így írhatnánk fel:

$$a^n=\underset{n\text{-szer}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

Az alap lehet bármi – szám, de akár bonyolultabb kifejezés is. A számolás során az adott kifejezést annyiszor szorozod meg önmagával, ahányszor a kitevő megadja. Példák:

$$\begin{array}{rcl}(-5{)}^3& =& (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\\ x^4& =& x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3{)}^2& =& (x+3)\cdot (x+3)\end{array}$$

A nulla kitevőre bevezetjük az a⁰ = 1 egyenlőséget.

Negatív kitevő

Ebben a részben feltételezzük, hogy a kitevő negatív. Hogyan lehetne ezt értelmezni? Abból indulunk ki, hogy a⁰ = 1. Ha az a¹-et akarjuk kiszámolni, azt mondhatnánk, hogy az a⁰-t megszorozzuk az a kifejezéssel. Mivel a⁰ = 1, a szorzatból a⁰ · a = a adódik. Megkapjuk az a-t. Ha az a²-et akarjuk kiszámolni, felírhatjuk, hogy a² = a⁰ · a · a.

Az a⁰ = 1 értékről elmondhatjuk, hogy ez a kiindulási értékünk, és amikor az aⁿ-et számoljuk, az a⁰ értéket csak n-szer szorozzuk meg az a kifejezéssel. Hogyan járnánk el, ha az n negatív lenne? Ha az n pozitív, szorzunk. Ha az n negatív, osztunk. Az a⁻¹-et tehát úgy kapnánk meg, hogy vennénk a kezdeti a⁰ értéket, és elosztanánk az a kifejezéssel. Így ezt az egyenletet kapjuk:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac{1}{a}$$

Ha az a⁻²-t szeretnénk megtudni, az a⁰-t kétszer osztanánk el az a-val. Mit kapnánk? Először is mondjuk meg, hogyan írhatjuk fel másképp az osztást. Ha van egy x/y hányadosunk, ugyanúgy felírhatjuk így is:

$$x\cdot \frac{1}{y}$$

Ez a törtek egyik alapvető tulajdonsága. Ha tehát egy x kifejezést kétszer akarunk elosztani az y kifejezéssel, felírhatjuk így:

$$x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{y}$$

Térjünk vissza az a⁻² példájához. Azt mondtuk, hogy úgy kapjuk meg, hogy az a⁰ kifejezést kétszer elosztjuk az a-val. Ezt tovább alakítjuk így:

$$a^{-2}=a^0\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

Most már megvan az eljárás, hogyan számoljunk ki negatív kitevős hatványt. Kiszámoljuk a hatványt, mintha a kitevő pozitív lenne, majd az értéket már csak megfordítjuk: egyet osztunk a hatványozás eredményével. Pontosabban felírva:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Itt feltételezzük, hogy a −n negatív szám, tehát az n pozitív.)

Néhány példa:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{-1}& =& \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\ 5^{-3}& =& \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3{)}^{-8}& =& \frac{1}{(2x+3{)}^8}\end{array}$$

Racionális kitevő

A kitevőt tovább bővíthetjük az összes racionális számra. Racionális szám az, amely felírható tört alakban, két egész szám hányadosaként. Legyen tehát egy m/n alakú törtünk, ahol az n pozitív szám. Ekkor felírhatjuk a következő képletet:

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Az a^m fölötti kampós jel a gyökvonás jele.

A hatványok tulajdonságai

• a⁰ = 1, ha a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0, ha n > 0.
• A 0⁰ nem értelmezett kifejezés.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, ha a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.