Potencias y raíces

Elevar a una potencia es una operación matemática que, dicho de forma sencilla, sirve para abreviar la escritura de una multiplicación repetida.

Exponente natural

La potenciación tiene la forma aⁿ, donde a la expresión n la llamamos exponente y a la expresión a la llamamos base. A continuación nos interesará sobre todo la forma del exponente. En esta parte veremos qué propiedades tiene una potencia con exponente natural, es decir, cuando el exponente es un número 1, 2, 3, 4, …

Un ejemplo de tal potencia es 6². El seis es la base, el dos es el exponente. El exponente nos dice cuántas veces seguidas hay que multiplicar el seis para obtener el resultado. Así, 6² = 6 · 6 = 36. Otro ejemplo: 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. En general podríamos escribirlo así:

$$a^n=\underset{n\text{ veces}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

La base puede ser cualquier cosa: un número, pero también una expresión más complicada. Durante el cálculo, simplemente multiplicas esa expresión tantas veces como indique el exponente. Ejemplos:

$$\begin{array}{rcl}(-5{)}^3& =& (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\\ x^4& =& x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3{)}^2& =& (x+3)\cdot (x+3)\end{array}$$

Para el exponente igual a cero se introduce la igualdad a⁰ = 1.

Exponente negativo

En esta parte supondremos que el exponente es negativo. ¿Cuál podría ser la interpretación? Partimos de que a⁰ = 1. Si queremos calcular a¹, podríamos decir que multiplicamos a⁰ por la expresión a. Como a⁰ = 1, el producto es a⁰ · a = a. Obtenemos a. Si queremos calcular a², podemos escribir a² = a⁰ · a · a.

Del valor a⁰ = 1 podemos decir que es nuestro valor de partida y que, cuando calculamos aⁿ, simplemente multiplicamos n veces el valor a⁰ por la expresión a. ¿Cómo procederíamos si n fuera negativo? Si n es positivo, multiplicamos. Si n es negativo, dividiremos. Así, a⁻¹ lo obtendríamos tomando el valor inicial a⁰ y dividiéndolo entre la expresión a. Obtenemos así la ecuación:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac{1}{a}$$

Si quisiéramos conocer a⁻², dividiríamos a⁰ entre a dos veces. ¿Qué obtendríamos? Primero diremos cómo se puede escribir la división de otra manera. Si tenemos el cociente x/y, podemos escribirlo igualmente como

$$x\cdot \frac{1}{y}$$

Es una de las propiedades básicas de las fracciones. Así que, si queremos dividir una expresión x dos veces entre la expresión y, podemos escribirlo como

$$x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{y}$$

Volvamos al ejemplo a⁻². Hemos dicho que lo obtenemos dividiendo la expresión a⁰ dos veces entre a. Eso lo modificamos así:

$$a^{-2}=a^0\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

En este momento ya tenemos el procedimiento para calcular una potencia con exponente negativo. Calculamos la potencia como si el exponente fuera positivo y después simplemente invertimos el valor dividiendo uno entre el resultado de la potencia. Escrito con más precisión:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Aquí suponemos que −n es un número negativo, es decir, que n es positivo.)

Veamos unos cuantos ejemplos:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{-1}& =& \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\ 5^{-3}& =& \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3{)}^{-8}& =& \frac{1}{(2x+3{)}^8}\end{array}$$

Exponente racional

El exponente también lo podemos ampliar a todos los números racionales. Un número racional es el que se puede expresar en forma de fracción, como cociente de dos números enteros. Tomemos, pues, una fracción de la forma m/n, donde n es un número positivo. Entonces podemos escribir la fórmula

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Ese garabato sobre a^m es el símbolo de la raíz.

Propiedades de las potencias

• a⁰ = 1, si a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0, si n > 0.
• 0⁰ es una expresión no definida.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, si a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.