Probabilità di vincita nel lotto 6 su 49

Come si calcola la probabilità di vincere al lotto 6 su 49? Come aumentare le possibilità di vincita? Vediamolo. Il gioco funziona così: nell’urna ci sono 49 numeri da 1 a 49 e durante l’estrazione dall’urna vengono estratti sei numeri a caso. Chi gioca cerca di indovinare questi sei numeri estratti. Qual è la probabilità di indovinare tutti e sei i numeri estratti?

Cominciamo calcolando quante combinazioni possibili possono essere estratte in tutto. È importante rendersi conto che nessun numero può essere estratto due volte nella stessa estrazione, quindi non è possibile che escano i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 5. Il secondo fattore importante è che non conta l’ordine in cui i numeri sono stati estratti: se escono i numeri nell’ordine 1, 2, 3, 4, 5, 6 e un’altra volta nell’ordine 6, 5, 4, 3, 2, 1, si tratta della stessa combinazione di numeri e, se li avessimo giocati, avremmo vinto in ogni caso.

Sappiamo quindi che non possiamo usare le disposizioni, in cui l’ordine conta, ma per il calcolo useremo le combinazioni, in cui l’ordine non conta. Ci chiediamo dunque quante combinazioni diverse esistono se scegliamo sei numeri su 49. Lo scriviamo sotto forma di coefficiente binomiale così:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})$$

La formula con cui si calcola questo coefficiente binomiale è la seguente:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

dove il punto esclamativo indica il fattoriale. Sostituendo i valori otteniamo:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})=\frac{49!}{(49-6)!\cdot 6!}=\frac{49!}{43!\cdot 6!}$$

Possiamo scrivere esplicitamente il numeratore:

$$\frac{49!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{43!\cdot 6!}$$

Ora possiamo semplificare 43!:

$$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!}$$

E adesso non resta che fare davvero il calcolo:

$$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!}=\frac{10068347520}{720}$$

Il che è uguale a

$$\frac{10068347520}{720}=13983816$$

Esistono quindi in tutto 13.983.816 combinazioni diverse (quasi quattordici milioni) su cui possiamo puntare.

Probabilità di vincere il primo premio

Il primo premio si vince indovinando tutti e sei i numeri estratti. Poiché esistono in tutto 13.983.816 combinazioni diverse, hai una probabilità su 13.983.816 di vincere, il che ci dà la probabilità

$$\frac{1}{13.983.816}\approx \mathrm{0,000}0000715$$

Per esprimerla in percentuale moltiplichiamo la probabilità per cento, cioè togliamo due zeri: 0,00000715%. Non è una probabilità molto grande. Per farci un’idea, in un paese con poco più di dieci milioni di abitanti, anche se ogni persona giocasse una combinazione diversa, resterebbero comunque più di tre milioni di combinazioni che nessuno avrebbe giocato, e ci sarebbe una probabilità di circa un quarto che comunque nessuno vinca.

Come aumentare la probabilità di vincere?

In nessun modo. Non si può. A meno di corrompere chi estrae i numeri. Ogni sestina ha la stessa probabilità di essere estratta. La sestina 1, 2, 3, 4, 5, 6 ha la stessa probabilità di uscire di 5, 14, 15, 38, 41, 48. L’urna non fa alcuna differenza tra una sequenza di numeri bene ordinata come 1, 2, 3, 4, 5, 6 e una sequenza casuale come 5, 14, 15, 38, 41, 48. Siamo noi esseri umani a trovare più bella la sequenza in fila. Allo stesso modo l’urna non ricorda i numeri estratti in precedenza. Il fatto che la settimana scorsa siano usciti i numeri 5, 14, 15, 38, 41, 48 non influisce in alcun modo sulla probabilità che questa sestina venga estratta di nuovo la settimana successiva.

Hai due possibilità per aiutarti quando giochi: la prima è non giocare i numeri che giocano gli altri. Non influirai così sulle tue possibilità di vincere, perché è indifferente che una sestina sia stata giocata da una persona o da cento. Ma se dovessi vincere, la vincita sarebbe divisa tra meno persone. Il meglio in assoluto è giocare numeri del tutto casuali. La probabilità che qualcun altro scelga la tua stessa sestina casuale è bassa. Se invece giochi, ad esempio, gli stessi numeri usciti all’ultima estrazione, hai buone probabilità che altri abbiano seguito la stessa strategia e che, in caso di vincita, dovrai dividere il premio.

La seconda possibilità per aiutarti quando giochi è non giocare affatto e investire piuttosto quei soldi in qualcosa di più ragionevole.