Probabilité de gagner au loto 6 sur 49

Comment calculer la probabilité de gagner au loto 6 sur 49 ? Comment augmenter ses chances de gagner ? Voyons cela. Le loto 6 sur 49 fonctionne ainsi : l’urne contient 49 numéros, de 1 à 49, et pendant le tirage, six numéros aléatoires sont extraits de cette urne. Le joueur essaie de deviner ces six numéros tirés. Quelle est la probabilité de deviner les six numéros tirés ?

Commençons par calculer le nombre total de combinaisons possibles qui peuvent être tirées. Il est important de comprendre qu’un numéro ne peut pas sortir deux fois au cours d’un même tirage : il est impossible de tirer 1, 2, 3, 4, 5, 5. Le second point important est que l’ordre dans lequel les numéros sortent n’a pas d’importance : si les numéros sortent dans l’ordre 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou dans l’ordre 6, 5, 4, 3, 2, 1, il s’agit de la même combinaison, et si nous avions joué ces numéros, nous aurions gagné dans les deux cas.

Nous savons donc qu’il ne faut pas utiliser les arrangements, où l’ordre compte, mais les combinaisons, où l’ordre n’intervient pas. On se demande donc combien de combinaisons différentes existent lorsqu’on choisit six numéros parmi 49. On l’écrit sous forme de coefficient binomial :

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})$$

La formule permettant de calculer ce coefficient binomial est :

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

où le point d’exclamation désigne la factorielle. En remplaçant les valeurs, on obtient :

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})=\frac{49!}{(49-6)!\cdot 6!}=\frac{49!}{43!\cdot 6!}$$

Développons le numérateur :

$$\frac{49!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{43!\cdot 6!}$$

On peut maintenant simplifier par 43! :

$$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!}$$

Il ne reste plus qu’à effectuer le calcul :

$$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!}=\frac{10068347520}{720}$$

Ce qui vaut

$$\frac{10068347520}{720}=13983816$$

Il existe donc au total 13 983 816 combinaisons différentes (près de quatorze millions) sur lesquelles on peut parier.

Probabilité de gagner le gros lot

Pour gagner le gros lot, il faut deviner les six numéros tirés. Comme il existe 13 983 816 combinaisons différentes, tu as une chance sur 13 983 816 de gagner, ce qui correspond à une probabilité de

$$\frac{1}{13983816}\approx \mathrm{0,000}0000715$$

Exprimée en pourcentage, cette probabilité s’obtient en multipliant par cent, c’est-à-dire en décalant la virgule de deux rangs : on obtient 0,00000715 %. Ce n’est pas une grande probabilité. À titre d’illustration, la République tchèque compte un peu plus de dix millions d’habitants. Si chaque personne du pays jouait au loto 6 sur 49 avec des numéros uniques, il resterait tout de même environ trois millions de combinaisons que personne n’aurait jouées, et il y aurait à peu près une chance sur cinq que personne ne gagne.

Peut-on augmenter ses chances de gagner au loto 6 sur 49 ?

Aucun moyen. Ce n’est pas possible, sauf à soudoyer celui qui tire les numéros. Chaque combinaison a la même chance d’être tirée. La suite 1, 2, 3, 4, 5, 6 a autant de chances d’être tirée que 5, 14, 15, 38, 41, 48. L’urne ne fait aucune différence entre une suite de numéros bien rangée, comme 1, 2, 3, 4, 5, 6, et une suite aléatoire comme 5, 14, 15, 38, 41, 48. C’est seulement nous, les humains, qui trouvons la première plus jolie. De même, l’urne ne se souvient pas des numéros tirés précédemment. Le fait que la semaine dernière les numéros tirés étaient 5, 14, 15, 38, 41, 48 n’influence en rien la probabilité que cette même combinaison sorte la semaine suivante.

Tu as deux possibilités pour mieux jouer. La première est de ne pas jouer les numéros que jouent les autres. Cela ne change pas tes chances de gagner, car il est indifférent que la combinaison ait été jouée par une personne ou par cent. Mais si tu gagnes, ton gain sera partagé entre moins de personnes. Le mieux est de jouer des numéros complètement aléatoires : la probabilité que quelqu’un choisisse exactement la même combinaison aléatoire est faible. En revanche, si tu joues les numéros qui sont sortis lors du dernier tirage, il y a de fortes chances que d’autres aient adopté la même stratégie, et si tu gagnes, tu devras partager ton gain.

La seconde possibilité est de ne pas jouer du tout et d’investir cet argent dans quelque chose de plus raisonnable.