Probabilidade de ganhar em uma loteria 6 de 49

Como calcular a probabilidade de ganhar em uma loteria 6 de 49? Como aumentar as chances de ganhar? Vamos ver. Essa loteria funciona assim: no globo de sorteio há 49 números, de 1 a 49, e durante o sorteio saem desse globo seis números aleatórios. O apostador tenta acertar esses seis números sorteados. Qual é a probabilidade de acertarmos os seis números sorteados?

Começamos calculando quantas combinações possíveis existem, ao todo, que podem ser sorteadas. É importante perceber que nenhum número pode ser sorteado duas vezes em um mesmo sorteio, ou seja, não é possível que saiam os números 1, 2, 3, 4, 5, 5. O segundo fator importante é que não importa a ordem em que os números foram sorteados, ou seja, quando saem os números na ordem 1, 2, 3, 4, 5, 6 e em outra ocasião na ordem 6, 5, 4, 3, 2, 1, trata-se da mesma combinação de números, e se tivéssemos apostado nesses números, ganharíamos de qualquer jeito.

Sabemos, então, que não podemos usar arranjos, nos quais a ordem importa, mas para o cálculo usamos combinações, nas quais a ordem não importa. Perguntamos, portanto, quantas combinações diferentes existem quando escolhemos seis números de 49. Escrevemos isso na forma de número binomial assim:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})$$

A fórmula com a qual esse número binomial pode ser calculado é esta:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

em que o ponto de exclamação indica o fatorial. Substituindo os valores, obtemos:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})=\frac{49!}{(49-6)!\cdot 6!}=\frac{49!}{43!\cdot 6!}$$

Podemos desenvolver o numerador:

$$\frac{49!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{43!\cdot 6!}$$

Agora podemos simplificar 43!:

$$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!}$$

E agora é só terminar a conta:

$$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!}=\frac{10068347520}{720}$$

O que é igual a

$$\frac{10068347520}{720}=13983816$$

Existem, portanto, 13.983.816 combinações diferentes (quase catorze milhões) em que você pode apostar.

Probabilidade de ganhar o prêmio principal

O prêmio principal é seu quando você acerta os seis números sorteados. Como existem 13.983.816 combinações diferentes, você tem a chance de 1 em 13.983.816 de ganhar, o que nos dá a probabilidade

$$\frac{1}{13.983.816}\approx \mathrm{0,000}0000715$$

Para obter a expressão em porcentagem, multiplicaríamos a probabilidade por cem, isto é, deslocaríamos a vírgula duas casas: 0,00000715%. Essa não é uma probabilidade muito grande. Para ilustrar: a cidade de São Paulo tem cerca de onze milhões e meio de habitantes. Se cada pessoa da cidade apostasse com números únicos, ainda assim existiriam cerca de dois milhões e meio de combinações em que ninguém apostou, e haveria quase uma chance em cinco de que, mesmo assim, ninguém ganhasse.

Como aumentar a chance de ganhar?

De jeito nenhum. Não dá. A não ser que você subornasse quem sorteia os números. Toda sequência de seis números tem a mesma chance de ser sorteada. A sequência 1, 2, 3, 4, 5, 6 tem a mesma chance de ser sorteada que 5, 14, 15, 38, 41, 48. O globo não faz nenhuma diferença entre uma sequência bonitinha de números como 1, 2, 3, 4, 5, 6 e uma sequência aleatória como 5, 14, 15, 38, 41, 48. É só a nós, humanos, que a sequência em ordem agrada mais. Da mesma forma, o globo não se lembra dos números sorteados antes. O fato de que na semana passada saíram os números 5, 14, 15, 38, 41, 48 não influencia de modo algum a probabilidade de que essa sequência seja sorteada de novo na semana seguinte.

Você tem duas maneiras de se ajudar na hora de apostar: a primeira é não apostar nos números em que os outros apostam. Isso não influencia as suas chances de ganhar, porque tanto faz se uma sequência de números foi apostada por uma pessoa ou por cem. Mas, se você ganhar, o seu prêmio será dividido entre menos pessoas. O melhor de tudo é apostar em números totalmente aleatórios. A chance de alguém escolher a mesma sequência aleatória é baixa. Mas, se você apostar, por exemplo, nos mesmos números que saíram no último sorteio, tem uma grande chance de que outras pessoas tenham escolhido a mesma estratégia e de que, em caso de vitória, você precise dividir o prêmio.

A segunda maneira de se ajudar na hora de apostar é não apostar e, em vez disso, investir esse dinheiro em algo mais sensato.