Kans op winst in een loterij 6 uit 49

Hoe bereken je de kans om te winnen in een loterij 6 uit 49? Hoe vergroot je je kans op winst? Laten we het eens bekijken. Zo'n loterij werkt als volgt: in de vaas zitten 49 getallen van 1 tot en met 49 en tijdens de trekking worden er zes willekeurige getallen uit die vaas getrokken. De deelnemer probeert deze zes getrokken getallen te raden. Hoe groot is de kans dat we alle zes de getrokken getallen raden?

We beginnen met het berekenen van hoeveel combinaties er in totaal zijn die getrokken kunnen worden. Het is belangrijk om te beseffen dat geen enkel getal in één trekking twee keer getrokken kan worden, dus het is niet mogelijk dat de getallen 1, 2, 3, 4, 5, 5 getrokken worden. Een tweede belangrijke factor is dat het niet uitmaakt in welke volgorde de getallen zijn getrokken: als de getallen een keer in de volgorde 1, 2, 3, 4, 5, 6 worden getrokken en een andere keer in de volgorde 6, 5, 4, 3, 2, 1, dan gaat het om dezelfde combinatie van getallen en als we deze getallen hadden ingezet, hadden we in beide gevallen gewonnen.

We weten dus dat we geen variaties kunnen gebruiken, waarbij de volgorde wel telt, maar dat we combinaties gebruiken voor de berekening, waarbij de volgorde niet telt. We vragen ons dus af hoeveel verschillende combinaties er zijn als we zes getallen uit 49 kiezen. Dat schrijven we als binomiaalcoëfficiënt zo op:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})$$

De formule waarmee deze binomiaalcoëfficiënt kan worden berekend, ziet er zo uit:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

waarbij het uitroepteken de faculteit aangeeft. Als we de waarden invullen, krijgen we:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})=\frac{49!}{(49-6)!\cdot 6!}=\frac{49!}{43!\cdot 6!}$$

De teller kunnen we uitschrijven:

$$\frac{49!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{43!\cdot 6!}$$

Nu kunnen we 43! wegdelen:

$$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!}$$

En nu rekenen we het echt uit:

$$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!}=\frac{10068347520}{720}$$

Dat is gelijk aan

$$\frac{10068347520}{720}=13983816$$

Er zijn dus in totaal 13 983 816 verschillende combinaties (bijna veertien miljoen) waarop je kunt inzetten.

Kans op de hoofdprijs

De hoofdprijs win je als je alle zes de getrokken getallen raadt. Omdat er in totaal 13 983 816 verschillende combinaties zijn, heb je een kans van 1 op 13 983 816 om te winnen, en dat geeft je de kans

$$\frac{1}{13983816}\approx \mathrm{0,000}0000715$$

De uitdrukking in procenten krijgen we als we de kans met honderd vermenigvuldigen, dus als we twee nullen weghalen: 0,00000715%. Dat is niet erg groot. Ter illustratie: stel dat een land ongeveer tienenhalf miljoen inwoners heeft. Als elke inwoner een unieke combinatie zou inzetten, zouden er nog altijd ongeveer drieënhalf miljoen combinaties zijn waarop niemand had ingezet, en zou er een kans van ongeveer een kwart zijn dat er toch niemand wint.

Hoe vergroot je je kans om te winnen?

Op geen enkele manier. Het kan niet. Behalve als je degene omkoopt die de getallen trekt. Elk zestal heeft dezelfde kans om getrokken te worden. Het zestal 1, 2, 3, 4, 5, 6 heeft dezelfde kans om getrokken te worden als 5, 14, 15, 38, 41, 48. De vaas maakt geen onderscheid tussen een mooi geordende rij getallen als 1, 2, 3, 4, 5, 6 en een willekeurige rij getallen als 5, 14, 15, 38, 41, 48. Wij mensen vinden de rij opeenvolgende getallen alleen mooier. Evenzo onthoudt de vaas eerder getrokken getallen niet. Dat vorige week de getallen 5, 14, 15, 38, 41, 48 zijn getrokken, heeft geen enkele invloed op de kans dat dit zestal volgende week opnieuw wordt getrokken.

Je hebt twee mogelijkheden om jezelf bij het inzetten te helpen: de eerste is niet de getallen inzetten die anderen inzetten. Dat beïnvloedt je kans op winst niet, want het maakt niet uit of een zestal door één persoon of door honderd mensen is ingezet. Maar als je dan toch zou winnen, wordt je winst met minder mensen gedeeld. Het allerbeste is om volledig willekeurige getallen in te zetten. De kans dat iemand anders hetzelfde willekeurige zestal kiest, is klein. Maar als je bijvoorbeeld dezelfde getallen inzet als in de laatste trekking zijn gevallen, heb je een grote kans dat anderen dezelfde strategie hebben gekozen en dat je bij een eventuele winst zult moeten delen.

De tweede mogelijkheid om jezelf bij het inzetten te helpen is om niet in te zetten en dat geld liever in iets verstandigers te investeren.