Πιθανότητα να κερδίσεις στο Λόττο

Πώς υπολογίζουμε την πιθανότητα να κερδίσεις στο Λόττο; Πώς μπορείς να αυξήσεις τις πιθανότητές σου; Ας το δούμε. Το Λόττο λειτουργεί ως εξής: σε μια κληρωτίδα υπάρχουν 49 αριθμοί από το 1 ως το 49 και κατά την κλήρωση βγαίνουν από αυτήν έξι τυχαίοι αριθμοί. Ο παίκτης προσπαθεί να μαντέψει αυτούς τους έξι αριθμούς. Ποια είναι η πιθανότητα να μαντέψουμε και τους έξι αριθμούς που θα κληρωθούν;

Ξεκινάμε υπολογίζοντας πόσοι συνδυασμοί μπορούν να κληρωθούν συνολικά. Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι κανένας αριθμός δεν μπορεί να κληρωθεί δύο φορές στην ίδια κλήρωση, άρα δεν γίνεται να κληρωθούν οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 5, 5. Ο δεύτερος σημαντικός παράγοντας είναι ότι δεν παίζει ρόλο η σειρά με την οποία κληρώθηκαν οι αριθμοί: αν κληρωθούν με τη σειρά 1, 2, 3, 4, 5, 6 και μια άλλη φορά με τη σειρά 6, 5, 4, 3, 2, 1, πρόκειται για τον ίδιο συνδυασμό αριθμών και, αν τους είχαμε ποντάρει, θα κερδίζαμε και στις δύο περιπτώσεις.

Ξέρουμε λοιπόν ότι δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε διατάξεις, στις οποίες μετράει η σειρά, αλλά θα χρησιμοποιήσουμε συνδυασμούς, στους οποίους η σειρά δεν μετράει. Ρωτάμε, δηλαδή, με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε έξι αριθμούς από τους 49. Το γράφουμε ως διωνυμικό συντελεστή:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})$$

Ο τύπος με τον οποίο υπολογίζεται αυτός ο διωνυμικός συντελεστής είναι:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\nu }{\kappa })=\frac{\nu !}{(\nu -\kappa )!\cdot \kappa !}$$

όπου το θαυμαστικό δηλώνει το παραγοντικό. Αν αντικαταστήσουμε τις τιμές, παίρνουμε:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})=\frac{49!}{(49-6)!\cdot 6!}=\frac{49!}{43!\cdot 6!}$$

Μπορούμε να αναπτύξουμε τον αριθμητή:

$$\frac{49!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{43!\cdot 6!}$$

Τώρα μπορούμε να απλοποιήσουμε το 43!:

$$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!}$$

Και τώρα απομένει μόνο να κάνουμε τις πράξεις:

$$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!}=\frac{10068347520}{720}$$

Αυτό ισούται με

$$\frac{10068347520}{720}=13.983.816$$

Υπάρχουν λοιπόν συνολικά 13.983.816 διαφορετικοί συνδυασμοί (σχεδόν δεκατέσσερα εκατομμύρια), στους οποίους μπορείς να ποντάρεις.

Πιθανότητα να κερδίσεις το πρώτο έπαθλο

Το πρώτο έπαθλο το κερδίζεις όταν μαντέψεις και τους έξι αριθμούς που κληρώθηκαν. Επειδή υπάρχουν συνολικά 13.983.816 διαφορετικοί συνδυασμοί, έχεις πιθανότητα 1 προς 13.983.816 να κερδίσεις, δηλαδή

$$\frac{1}{13.983.816}\approx \mathrm{0,000}0000715$$

Το ποσοστό θα το βρούμε αν πολλαπλασιάσουμε την πιθανότητα με το εκατό, δηλαδή αν μετακινήσουμε την υποδιαστολή κατά δύο θέσεις: 0,00000715%. Δεν είναι και μεγάλη πιθανότητα. Για να το καταλάβεις καλύτερα, στην Ελλάδα ζουν λίγο πάνω από δέκα εκατομμύρια άνθρωποι. Ακόμα κι αν ο καθένας έπαιζε στο Λόττο έναν δικό του, μοναδικό συνδυασμό, θα υπήρχαν πάλι πάνω από τρεισήμισι εκατομμύρια συνδυασμοί που δεν θα τους είχε παίξει κανείς και η πιθανότητα να μην κερδίσει κανείς θα ήταν περίπου μία στις τέσσερις.

Πώς να αυξήσεις την πιθανότητα να κερδίσεις στο Λόττο;

Με κανέναν τρόπο. Δεν γίνεται. Εκτός αν δωροδοκήσεις αυτόν που κληρώνει τους αριθμούς. Κάθε εξάδα έχει την ίδια πιθανότητα να κληρωθεί. Η εξάδα 1, 2, 3, 4, 5, 6 έχει την ίδια πιθανότητα να κληρωθεί με την εξάδα 5, 14, 15, 38, 41, 48. Η κληρωτίδα δεν κάνει καμία διάκριση ανάμεσα σε μια όμορφα διατεταγμένη ακολουθία αριθμών όπως η 1, 2, 3, 4, 5, 6 και σε μια τυχαία ακολουθία όπως η 5, 14, 15, 38, 41, 48. Απλώς εμείς οι άνθρωποι βρίσκουμε πιο ωραία τη διαδοχή. Επίσης η κληρωτίδα δεν θυμάται τους αριθμούς που κληρώθηκαν παλιότερα. Το ότι την περασμένη εβδομάδα κληρώθηκαν οι αριθμοί 5, 14, 15, 38, 41, 48 δεν επηρεάζει καθόλου την πιθανότητα να κληρωθεί ξανά η ίδια εξάδα την επόμενη εβδομάδα.

Έχεις δύο δυνατότητες να βοηθήσεις τον εαυτό σου όταν παίζεις. Η πρώτη είναι να μην παίζεις τους αριθμούς που παίζουν οι άλλοι. Έτσι δεν επηρεάζεις τις πιθανότητές σου να κερδίσεις, γιατί δεν έχει σημασία αν μια εξάδα αριθμών την έπαιξε ένας άνθρωπος ή εκατό. Αν όμως κερδίσεις, το κέρδος σου θα μοιραστεί σε λιγότερους ανθρώπους. Το καλύτερο απ' όλα είναι να παίζεις εντελώς τυχαίους αριθμούς. Η πιθανότητα να έχει διαλέξει κάποιος άλλος την ίδια τυχαία εξάδα είναι μικρή. Αν όμως παίξεις, για παράδειγμα, τους ίδιους αριθμούς που βγήκαν στην τελευταία κλήρωση, έχεις μεγάλες πιθανότητες να έχουν ακολουθήσει την ίδια στρατηγική κι άλλοι και να χρειαστεί να μοιραστείς το κέρδος, αν κερδίσεις.

Η δεύτερη δυνατότητα να βοηθήσεις τον εαυτό σου είναι να μην παίζεις καθόλου και να επενδύσεις τα χρήματά σου σε κάτι πιο λογικό.