Probabilidad de ganar en La Primitiva

¿Cómo calcular la probabilidad de ganar en La Primitiva? ¿Cómo aumentar las posibilidades de ganar? Veámoslo. La Primitiva es una lotería de tipo «6 de 49» y funciona así: en el bombo hay 49 números del 1 al 49 y durante el sorteo se extraen del bombo seis números al azar. El jugador intenta acertar esos seis números extraídos. ¿Cuál es la probabilidad de acertar los seis números extraídos?

Empezamos calculando cuántas combinaciones posibles pueden salir en total. Es importante darse cuenta de que ningún número puede salir dos veces en un mismo sorteo, es decir, no es posible que salgan los números 1, 2, 3, 4, 5, 5. El segundo factor importante es que no importa el orden en que se hayan extraído los números: si salen los números en el orden 1, 2, 3, 4, 5, 6 y otra vez en el orden 6, 5, 4, 3, 2, 1, se trata de la misma combinación de números, y si hubiéramos apostado por ellos, ganaríamos de todos modos.

Sabemos, pues, que no podemos usar las variaciones, en las que sí importa el orden, sino que para el cálculo usaremos las combinaciones, en las que el orden no importa. Nos preguntamos, por tanto, cuántas combinaciones distintas existen si elegimos seis números de 49. Lo escribimos en forma de número combinatorio así:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})$$

La fórmula con la que se calcula este número combinatorio es la siguiente:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

donde el signo de exclamación indica el factorial. Al sustituir los valores obtenemos:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})=\frac{49!}{(49-6)!\cdot 6!}=\frac{49!}{43!\cdot 6!}$$

Podemos desarrollar el numerador:

$$\frac{49!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{43!\cdot 6!}$$

Ahora podemos simplificar 43!:

$$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!}$$

Y ahora solo queda calcularlo de verdad:

$$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!}=\frac{10068347520}{720}$$

Lo cual es igual a

$$\frac{10068347520}{720}=13983816$$

Existen, pues, en total 13.983.816 combinaciones distintas (casi catorce millones) por las que podemos apostar.

Probabilidad de ganar el premio mayor

El premio mayor se consigue al acertar los seis números extraídos. Como existen en total 13.983.816 combinaciones distintas, tenemos una posibilidad entre 13.983.816 de ganar, lo que nos da la probabilidad

$$\frac{1}{13.983.816}\approx \mathrm{0,000}0000715$$

La expresión en porcentaje la obtendríamos multiplicando la probabilidad por cien, es decir, desplazando la coma dos lugares: 0,00000715 %. No es una probabilidad muy grande. Para hacernos una idea, en un país con algo más de diez millones de habitantes, aunque cada persona apostara una combinación distinta, seguirían existiendo tres millones de combinaciones que nadie habría apostado, y habría una probabilidad de aproximadamente una quinta parte de que, aun así, nadie ganara.

¿Cómo aumentar la probabilidad de ganar en La Primitiva?

De ninguna manera. No se puede. A no ser que sobornaras a quien saca los números. Cada combinación de seis números tiene la misma probabilidad de salir. La combinación 1, 2, 3, 4, 5, 6 tiene la misma probabilidad de salir que 5, 14, 15, 38, 41, 48. El bombo no distingue entre una secuencia de números bonita, como 1, 2, 3, 4, 5, 6, y una secuencia aleatoria, como 5, 14, 15, 38, 41, 48. Somos nosotros, los humanos, quienes encontramos más bonita la escalera. Del mismo modo, el bombo no recuerda los números que salieron antes. El hecho de que la semana pasada salieran los números 5, 14, 15, 38, 41, 48 no influye en absoluto en la probabilidad de que esta combinación vuelva a salir la semana siguiente.

Tienes dos opciones para ayudarte al apostar. La primera es no apostar los números que apuestan los demás. Con ello no influyes en tus posibilidades de ganar, porque da igual que una combinación la haya apostado una persona o cien. Pero si llegaras a ganar, tu premio se repartiría entre menos gente. Lo mejor de todo es apostar números totalmente aleatorios. La probabilidad de que alguien elija la misma combinación aleatoria es baja. En cambio, si apuestas, por ejemplo, los mismos números que salieron en el último sorteo, es muy probable que otras personas hayan seguido la misma estrategia y que, en caso de ganar, tengas que repartir el premio.

La segunda opción para ayudarte al apostar es no apostar y mejor invertir ese dinero en algo más sensato.