Gewinnwahrscheinlichkeit beim Lotto 6 aus 49

Wie berechnet man die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Lotto 6 aus 49? Wie kann man die Gewinnchancen erhöhen? Schauen wir es uns an. Das Lotto funktioniert so, dass sich in der Urne 49 Zahlen von 1 bis 49 befinden und bei der Ziehung aus dieser Urne sechs zufällige Zahlen gezogen werden. Die Spieler versuchen, diese sechs gezogenen Zahlen zu erraten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir alle sechs gezogenen Zahlen erraten?

Wir beginnen damit, dass wir ausrechnen, wie viele Kombinationen überhaupt gezogen werden können. Wichtig ist, dass keine Zahl in einer Ziehung zweimal gezogen werden kann, es ist also nicht möglich, dass die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 5 gezogen werden. Der zweite wichtige Faktor ist, dass es nicht auf die Reihenfolge ankommt, in der die Zahlen gezogen wurden. Wenn also einmal die Zahlen in der Reihenfolge 1, 2, 3, 4, 5, 6 und ein andermal in der Reihenfolge 6, 5, 4, 3, 2, 1 gezogen werden, handelt es sich um dieselbe Zahlenkombination, und wenn wir auf diese Zahlen getippt hätten, würden wir in beiden Fällen gewinnen.

Wir wissen also, dass wir keine Variationen verwenden können, bei denen es auf die Reihenfolge ankommt, sondern für die Berechnung Kombinationen verwenden, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt. Wir fragen also, wie viele verschiedene Kombinationen es gibt, wenn wir sechs Zahlen aus 49 auswählen. Wir schreiben das in Form eines Binomialkoeffizienten so auf:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})$$

Die Formel, mit der sich dieser Binomialkoeffizient berechnen lässt, sieht so aus:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

wobei das Ausrufezeichen die Fakultät bezeichnet. Wenn wir die Werte einsetzen, erhalten wir:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})=\frac{49!}{(49-6)!\cdot 6!}=\frac{49!}{43!\cdot 6!}$$

Den Zähler können wir ausschreiben:

$$\frac{49!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{43!\cdot 6!}$$

Jetzt können wir 43! kürzen:

$$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!}$$

Und jetzt rechnen wir es nur noch wirklich aus:

$$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!}=\frac{10068347520}{720}$$

Das ist gleich

$$\frac{10068347520}{720}=13983816$$

Es gibt also insgesamt 13.983.816 verschiedene Kombinationen (fast vierzehn Millionen), auf die du setzen kannst.

Wahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn

Den Hauptgewinn erhältst du, wenn du alle sechs gezogenen Zahlen errätst. Da es insgesamt 13.983.816 verschiedene Kombinationen gibt, beträgt deine Gewinnchance 1 : 13.983.816, was dir die Wahrscheinlichkeit

$$\frac{1}{13.983.816}\approx \mathrm{0,000}0000715$$

ergibt. Den Wert in Prozent erhalten wir, wenn wir die Wahrscheinlichkeit mit hundert multiplizieren, d. h., wenn wir zwei Nullen entfernen: 0,00000715 %. Das ist keine besonders große Wahrscheinlichkeit. Zur Veranschaulichung: In Tschechien leben etwas über zehn Millionen Menschen. Würde jeder Mensch in Tschechien Lotto mit einzigartigen Zahlen spielen, gäbe es trotzdem noch drei Millionen Kombinationen, die niemand getippt hätte, und es bestünde eine Chance von etwa einem Fünftel, dass trotzdem niemand gewinnt.

Wie kann man die Gewinnchance beim Lotto 6 aus 49 erhöhen?

Gar nicht. Es geht nicht. Außer du bestichst den, der die Zahlen zieht. Jede Sechserkombination hat dieselbe Chance, gezogen zu werden. Die Sechserkombination 1, 2, 3, 4, 5, 6 hat dieselbe Chance, gezogen zu werden, wie 5, 14, 15, 38, 41, 48. Der Urne ist es egal, ob es sich um eine schön geordnete Zahlenfolge wie 1, 2, 3, 4, 5, 6 oder um eine zufällige Zahlenfolge wie 5, 14, 15, 38, 41, 48 handelt. Nur uns Menschen gefällt die Reihe besser. Ebenso erinnert sich die Urne nicht an früher gezogene Zahlen. Dass letzte Woche die Zahlen 5, 14, 15, 38, 41, 48 gezogen wurden, beeinflusst die Wahrscheinlichkeit, dass diese Sechserkombination nächste Woche wieder gezogen wird, in keiner Weise.

Du hast zwei Möglichkeiten, dir beim Tippen zu helfen: Die erste ist, nicht die Zahlen zu tippen, die die anderen tippen. Deine Gewinnchancen beeinflusst du dadurch nicht, denn es ist egal, ob eine Sechserkombination ein Mensch oder hundert Menschen getippt haben. Wenn du aber gewinnen solltest, teilt sich dein Gewinn auf weniger Menschen auf. Am besten ist es, ganz zufällige Zahlen zu tippen. Die Chance, dass jemand dieselbe zufällige Sechserkombination wählt, ist gering. Wenn du aber zum Beispiel dieselben Zahlen tippst, die bei der letzten Ziehung gefallen sind, besteht eine große Chance, dass andere Leute dieselbe Strategie gewählt haben und du dir einen eventuellen Gewinn teilen musst.

Die zweite Möglichkeit, dir beim Tippen zu helfen, ist, nicht zu tippen und das Geld lieber in etwas Vernünftigeres zu investieren.