Взаимно положение на прави

При две прави в равнината различаваме общо четири случая. Правите могат да бъдат успоредни, пресичащи се, перпендикулярни или съвпадащи.

Определяне на взаимното положение от уравненията

Ако имаме две прави и двете им уравнения, просто решаваме системата от тези две уравнения. Възможни са общо три случая:

Системата няма решение – правите нямат обща точка и затова са успоредни.
Системата има точно едно решение – правите имат точно една обща точка (пресечна точка) и затова са пресичащи се.
Системата има безбройно много решения – правите имат безбройно много общи точки, следователно са съвпадащи.

Забележи, че по този начин не можем да установим дали правите са перпендикулярни една на друга.

Три различни взаимни положения на прави

На чертежа виждаме успоредните прави a, b, пресичащите се прави c, d, които се пресичат в една точка, и съвпадащите прави e, f.

Следват примери:

Определи взаимното положение на правите p и q, зададени с уравненията p: −x + 3y − 5 = 0 и q: 2x + 3y − 17 = 0. От двете уравнения съставяме система линейни уравнения и я решаваме:

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y - 5 & = & 0 \\ 2 x + 3 y - 17 & = & 0 \end{array}$

Първото уравнение умножаваме по две:

$\begin{array}{rcl} - 2 x + 6 y - 10 & = & 0 \\ 2 x + 3 y - 17 & = & 0 \end{array}$

И събираме уравненията:

$- 2 x + 6 y - 10 + (2 x + 3 y - 17) = 0$

Следващите преобразувания са лесни:

$\begin{array}{rcl} - 2 x + 6 y - 10 + (2 x + 3 y - 17) & = & 0 \\ 6 y + 3 y - 10 - 17 & = & 0 \\ 9 y - 27 & = & 0 \\ y - 3 & = & 0 \\ y = 3 \end{array}$

Остава да пресметнем x, например като заместим стойността y = 3 в уравнението −x + 3y − 5 = 0:

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y - 5 & = & 0 \\ - x + 3 \cdot 3 - 5 & = & 0 \\ - x + 4 & = & 0 \\ x & = & 4 \end{array}$

Получихме единствено решение на системата уравнения, x = 4, y = 3. Това означава, че правите са пресичащи се и се пресичат в точката X(4; 3). Чертеж:
Определи взаимното положение на правите p и q, зададени с уравнението p: 2x + y − 8 = 0 и с параметричното уравнение на правата q:

$\begin{array}{rcl} x & = & 5 - t \\ y & = & 2 + 2 t \end{array}$

В този случай имаме едно общо уравнение на права и едно параметрично. Този случай решаваме, като в общото уравнение заместим x и y със стойностите от параметричното уравнение. Т.е. вместо x в общото уравнение заместваме дясната страна на параметричното уравнение, същото правим и с y. Получаваме едно уравнение:

$\begin{array}{rcl} 2 x + y - 8 & = & 0 \\ 2 \cdot (5 - t) + (2 + 2 t) - 8 & = & 0 \end{array}$

И нататък преобразуваме уравнението по стандартния начин:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (5 - t) + (2 + 2 t) - 8 & = & 0 \\ 10 - 2 t + 2 + 2 t - 8 & = & 0 \\ 12 - 8 + 2 t - 2 t & = & 0 \\ 4 & = & 0 \end{array}$

Уравнението няма решение, правите не се пресичат в нито една точка. Правите p и q са успоредни. Чертеж:
Определи взаимното положение на правите p и q, зададени с уравненията p: 3x + y − 10 = 0 и q: −9x −3y + 30 = 0. На пръв поглед се вижда, че второто уравнение е първото, умножено по −3, така че правите би трябвало да са съвпадащи. Но нека пресметнем. Съставяме системата уравнения:

$\begin{array}{rcl} 3 x + y - 10 & = & 0 \\ - 9 x - 3 y + 30 & = & 0 \end{array}$

Първото уравнение умножаваме по 3:

$\begin{array}{rcl} 9 x + 3 y - 30 & = & 0 \\ - 9 x - 3 y + 30 & = & 0 \end{array}$

И събираме уравненията:

$\begin{array}{rcl} 9 x + 3 y - 30 + (- 9 x - 3 y + 30) & = & 0 \\ 9 x - 9 x + 3 y - 3 y + 30 - 30 & = & 0 \\ 0 & = & 0 \end{array}$

Системата има безбройно много решения, правите имат безбройно много общи точки и следователно са съвпадащи. Чертеж:

Определяне на взаимното положение от насочващия и нормалния вектор

Ако знаем насочващия вектор или нормалния вектор, можем да определим взаимното положение на правите. При това е изпълнено:

Ако насочващите вектори са колинеарни (линейно зависими), правите са успоредни или съвпадащи.
Ако насочващите вектори не са колинеарни (не са линейно зависими), правите са пресичащи се.
Ако скаларното произведение на насочващите вектори е нула, правите са перпендикулярни една на друга.

Предишните точки важат по същия начин и за нормалните вектори. Т.е. ако нормалните вектори са колинеарни, правите са успоредни или съвпадащи и т.н.

Ще опитаме да решим трите примера от предишния раздел с помощта на насочващи и нормални вектори.

Определи взаимното положение на правите p и q, зададени с уравненията p: −x + 3y − 5 = 0 и q: 2x + 3y − 17 = 0. Нормалният вектор на правата p има вида $\vec{u} (- 1; 3)$ , нормалният вектор на правата q има вида $\vec{v} (2; 3)$ . Векторите не са колинеарни, защото векторите $\vec{u}, \vec{v}$ не са линейно зависими. Не съществува a ∈ ℝ, такова че $a \cdot \vec{u} = \vec{v}$ . От това следва, че правите са пресичащи се.

Ще пресметнем още скаларното произведение, за да проверим дали правите са перпендикулярни една на друга. Скаларното произведение на нормалните вектори е

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2}) = - 2 + 9 = 7$

Скаларното произведение е различно от нула, така че правите не са перпендикулярни една на друга.
Определи взаимното положение на правите p и q, зададени с уравнението p: 2x + y − 8 = 0 и с параметричното уравнение на правата q:

$\begin{array}{rcl} x & = & 5 - t \\ y & = & 2 + 2 t \end{array}$

От параметричното уравнение можем веднага да отчетем насочващия вектор на правата q. Той съвпада с коефициентите пред параметъра t, така че насочващият вектор на правата q има вида $\vec{v} (- 1; 2)$ . От общото уравнение на правата p пък можем веднага да отчетем нормалния вектор, който има вида $\vec{n} (2; 1)$ (стойностите на коефициентите пред x и y). От нормалния вектор получаваме насочващия вектор $\vec{u} (1; - 2)$ .

(Просто разменихме числата и умножихме една от координатите по −1. За векторите (2; 1) и (1; −2) е изпълнено, че скаларното им произведение е равно на нула, затова ако (2; 1) е нормален вектор, то (1; −2) е насочващ вектор.)

Виждаме, че насочващият вектор на правата p е насочващият вектор на правата q, умножен по −1, т.е. $- 1 \cdot \vec{v} = \vec{u}$ . Правите имат насочващи вектори, които са колинеарни, което означава, че правите p и q са успоредни или съвпадащи.

Сега трябва да установим дали правите са успоредни или съвпадащи. Достатъчно е да вземем коя да е точка A, която лежи на правата q, и да я заместим в уравнението, което описва правата p. Ако уравнението е изпълнено, правите са съвпадащи. В противен случай са само успоредни.

Вземаме параметричното уравнение на правата q и заместваме параметъра t с нула. Получаваме:

$\begin{array}{rcl} x & = & 5 - 0 = 5 \\ y & = & 2 + 2 \cdot 0 = 2 \end{array}$

Получихме точката A(5; 2), която със сигурност лежи на правата q. Заместваме тези координати в общото уравнение p: 2x + y − 8 = 0:

$\begin{array}{rcl} 2 x + y - 8 & = & 0 \\ 2 \cdot 5 + 2 - 8 & = & 0 \\ 12 - 8 & = & 0 \\ 4 & = & 0 \end{array}$

Тази точка не удовлетворява уравнението, така че точката A(5; 2) не лежи на правата p и следователно правите не са съвпадащи.
Определи взаимното положение на правите p и q, зададени с уравненията: p: −x + 3y − 6 = 0 и q: 3x + y − 14 = 0. Този пример се различава от третия пример от предишния раздел. От двете уравнения можем да отчетем нормалните вектори на двете прави. Нормалните вектори имат вида ${\vec{n}}_{p} (- 1; 3)$ и ${\vec{n}}_{q} (3; 1)$ . Нормалните вектори не са линейно зависими (колинеарни), не съществува реално a, такова че $a \cdot {\vec{n}}_{p} = {\vec{n}}_{q}$ .

Сега още трябва да установим дали правите са перпендикулярни. Пресмятаме скаларното произведение:

${\vec{n}}_{p} \cdot {\vec{n}}_{q} = (- 1; 3) \cdot (3; 1) = - 3 + 3 = 0$

Скаларното произведение е нула, векторите са перпендикулярни един на друг. Затова и самите прави са перпендикулярни една на друга. Чертеж:

Ако искаме да намерим пресечната точка на двете прави, трябва да я пресметнем от уравненията. Съставяме от общите уравнения система уравнения:

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y - 6 & = & 0 \\ 3 x + y - 14 & = & 0 \end{array}$

Първото уравнение умножаваме по −3:

$\begin{array}{rcl} - 3 x + 9 y - 18 & = & 0 \\ 3 x + y - 14 & = & 0 \end{array}$

Сега събираме уравненията и преобразуваме нататък:

$\begin{array}{rcl} - 3 x + 9 y - 18 + (3 x + y - 14) & = & 0 \\ 9 y + y - 18 - 14 & = & 0 \\ 10 y - 32 & = & 0 \\ y = \frac{32}{10} = \frac{16}{5} \end{array}$

x-координатата пресмятаме, като заместим в някое от уравненията, например в −x + 3y − 6 = 0:

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y - 6 & = & 0 \\ - x + 3 \cdot \frac{16}{5} - 6 & = & 0 \\ - x + \frac{48}{5} - \frac{30}{5} & = & 0 \\ - x + \frac{18}{5} & = & 0 \\ x & = & \frac{18}{5} \end{array}$

Получаваме координатите на пресечната точка на двете прави $P (\frac{18}{5}; \frac{16}{5})$ .

« Предишна: Уравнение на права в пространството

Следваща: Уравнение на равнина »