Posición relativa de dos rectas

Entre dos rectas en el plano podemos distinguir cuatro situaciones distintas. Las rectas pueden ser paralelas, secantes, perpendiculares o coincidentes.

Determinación de la posición relativa a partir de las ecuaciones

Si tenemos dos rectas y sus dos ecuaciones, basta resolver el sistema formado por estas dos ecuaciones. Pueden darse tres casos:

1. El sistema no tiene solución — las rectas no tienen ningún punto en común y, por tanto, son paralelas.
2. El sistema tiene exactamente una solución — las rectas tienen exactamente un punto en común (punto de corte) y, por tanto, son secantes.
3. El sistema tiene infinitas soluciones — las rectas tienen infinitos puntos en común, así que son coincidentes.

Fíjate en que por este camino no averiguamos si las rectas son perpendiculares entre sí.

En la figura vemos las rectas paralelas a, b, las rectas secantes c, d, que se cortan en un punto, y las rectas coincidentes e, f.

Veamos unos ejemplos:

1. Estudia la posición relativa de las rectas p y q, dadas por las ecuaciones p: −x + 3y − 5 = 0 y q: 2x + 3y − 17 = 0. Con las dos ecuaciones formamos un sistema de ecuaciones lineales y lo resolvemos:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Multiplicamos la primera ecuación por dos:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Y sumamos las ecuaciones:

   $$-2x+6y-10+(2x+3y-17)=0$$

   Los demás pasos son fáciles:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10+(2x+3y-17)& =& 0\\ 6y+3y-10-17& =& 0\\ 9y-27& =& 0\\ y-3& =& 0\\ y=3\end{array}$$

   Falta calcular x, por ejemplo sustituyendo el valor y = 3 en la ecuación −x + 3y − 5 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ -x+3\cdot 3-5& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

   Nos ha salido una única solución del sistema de ecuaciones, x = 4, y = 3. Esto significa que las rectas son secantes y se cortan en el punto X(4, 3). Figura:

   

2. Estudia la posición relativa de las rectas p y q, dadas por la ecuación p: 2x + y − 8 = 0 y por las ecuaciones paramétricas de la recta q:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   En este caso tenemos una ecuación general de la recta y unas ecuaciones paramétricas. Resolvemos este caso sustituyendo en la ecuación general x e y por los valores de las ecuaciones paramétricas. Es decir, en lugar de x en la ecuación general ponemos el lado derecho de la ecuación paramétrica, y lo mismo con y. Obtenemos una ecuación:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\end{array}$$

   Y la ecuación la desarrollamos ya de la manera habitual:

   $$\begin{array}{rcl}2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\\ 10-2t+2+2t-8& =& 0\\ 12-8+2t-2t& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   La ecuación no tiene solución, así que las rectas no se cortan en ningún punto. Las rectas p y q son, por tanto, paralelas. Figura:

   

3. Estudia la posición relativa de las rectas p y q, dadas por las ecuaciones p: 3x + y − 10 = 0 y q: −9x −3y + 30 = 0. A primera vista se ve que la segunda ecuación es el producto de la primera por −3, así que las rectas deberían ser coincidentes. Pero calculémoslo. Formamos el sistema de ecuaciones:

   $$\begin{array}{rcl}3x+y-10& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Multiplicamos la primera ecuación por 3:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Y sumamos las ecuaciones:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30+(-9x-3y+30)& =& 0\\ 9x-9x+3y-3y+30-30& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

   El sistema tiene infinitas soluciones, las rectas tienen infinitos puntos en común y son, por tanto, coincidentes. Figura:

   

Determinación de la posición relativa a partir del vector director y del vector normal

Si conocemos el vector director o el vector normal, podemos determinar la posición relativa de las rectas. Se cumple lo siguiente:

1. Si los vectores directores son proporcionales (linealmente dependientes), las rectas son paralelas o coincidentes.
2. Si los vectores directores no son proporcionales (no son linealmente dependientes), las rectas son secantes.
3. Si el producto escalar de los vectores directores es nulo, las rectas son perpendiculares entre sí.

Los puntos anteriores valen igualmente para los vectores normales. Es decir, si los vectores normales son proporcionales, las rectas son paralelas o coincidentes, etc.

Vamos a resolver los tres ejemplos del apartado anterior mediante vectores directores y vectores normales.

1. Estudia la posición relativa de las rectas p y q, dadas por las ecuaciones p: −x + 3y − 5 = 0 y q: 2x + 3y − 17 = 0. El vector normal de la recta p es $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-1,3)$ y el vector normal de la recta q es $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2,3)$. Los vectores no son proporcionales, porque los vectores $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ no son linealmente dependientes. No existe ningún a ∈ ℝ tal que $a\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{\mathbf{v}}$. De ello se deduce que las rectas son secantes.

   Calculamos además el producto escalar para comprobar si las rectas son perpendiculares entre sí. El producto escalar de los vectores normales es

   $$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2)=-2+9=7$$

   El producto escalar no es nulo, así que las rectas no son perpendiculares entre sí.

2. Estudia la posición relativa de las rectas p y q, dadas por la ecuación p: 2x + y − 8 = 0 y por las ecuaciones paramétricas de la recta q:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   De las ecuaciones paramétricas podemos leer enseguida el vector director de la recta q. Coincide con los coeficientes de t, así que el vector director de la recta q es $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(-1,2)$. De la ecuación general de la recta p podemos leer, a su vez, enseguida el vector normal, que es $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(2,1)$ (los valores de los coeficientes de x e y). Del vector normal obtenemos el vector director $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(1,-2)$.

   (Solo hemos intercambiado los números y hemos multiplicado una de las coordenadas por −1. Para los vectores (2, 1) y (1, −2) se cumple que su producto escalar es cero, por lo que, si (2, 1) es un vector normal, (1, −2) es un vector director.)

   Vemos que el vector director de la recta p es −1 veces el vector director de la recta q, se cumple que $-1\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Las rectas tienen, por tanto, vectores directores proporcionales, lo que significa que las rectas p y q son paralelas o coincidentes.

   Ahora deberíamos averiguar si las rectas son paralelas o coincidentes. Basta tomar cualquier punto A que esté en la recta q y sustituirlo en la ecuación que describe la recta p. Si la ecuación se cumple, las rectas son coincidentes. En caso contrario, solo son paralelas.

   Tomamos las ecuaciones paramétricas de la recta q y sustituimos el parámetro t por cero. Obtenemos:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-0=5\\ y& =& 2+2\cdot 0=2\end{array}$$

   Hemos obtenido el punto A(5, 2), que seguro está en la recta q. Sustituimos estas coordenadas en la ecuación general p: 2x + y − 8 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot 5+2-8& =& 0\\ 12-8& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Este punto no es solución de la ecuación, así que el punto A(5, 2) no está en la recta p y, por tanto, las rectas no son coincidentes.

3. Estudia la posición relativa de las rectas p y q, dadas por las ecuaciones: p: −x + 3y − 6 = 0 y q: 3x + y − 14 = 0. Este ejemplo se diferencia del tercer ejemplo del apartado anterior. De las dos ecuaciones podemos leer los vectores normales de ambas rectas. Los vectores normales son ${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p=(-1,3)$ y ${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q=(3,1)$. Los vectores normales no son linealmente dependientes (no son proporcionales); no existe ningún a real tal que $a\cdot {\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p={\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q$.

   Ahora averiguamos si las rectas son perpendiculares. Calculamos el producto escalar:

   $${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p\cdot {\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q=(-1,3)\cdot (3,1)=-3+3=0$$

   El producto escalar ha salido nulo, los vectores son perpendiculares entre sí. Por eso las propias rectas también son perpendiculares entre sí. Figura:

   

   Si quisiéramos hallar el punto de corte de ambas rectas, tenemos que calcularlo a partir de las ecuaciones. Con las ecuaciones generales formamos un sistema de ecuaciones:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Multiplicamos la primera ecuación por −3:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Ahora sumamos las ecuaciones y seguimos desarrollando:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18+(3x+y-14)& =& 0\\ 9y+y-18-14& =& 0\\ 10y-32& =& 0\\ y=\frac{32}{10}=\frac{16}{5}\end{array}$$

   La coordenada x la calculamos sustituyendo en una de las ecuaciones, por ejemplo en −x + 3y − 6 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ -x+3\cdot \frac{16}{5}-6& =& 0\\ -x+\frac{48}{5}-\frac{30}{5}& =& 0\\ -x+\frac{18}{5}& =& 0\\ x& =& \frac{18}{5}\end{array}$$

   Obtenemos las coordenadas del punto de corte de ambas rectas $X(\frac{18}{5},\frac{16}{5})$.