Posição relativa entre duas retas

Para duas retas no plano, podemos distinguir ao todo quatro situações diferentes. As retas podem ser paralelas, concorrentes, perpendiculares ou coincidentes.

Determinação da posição relativa a partir das equações

Se temos duas retas e as duas equações delas, basta resolver o sistema formado por essas duas equações. Podem ocorrer três casos:

1. O sistema não tem solução — as retas não têm nenhum ponto em comum e, portanto, são paralelas.
2. O sistema tem exatamente uma solução — as retas têm exatamente um ponto em comum (ponto de interseção), e portanto são concorrentes.
3. O sistema tem infinitas soluções — as retas têm infinitos pontos em comum, e portanto são coincidentes.

Observe que, por esse caminho, não descobrimos se as retas são perpendiculares entre si.

Na figura vemos as retas paralelas a, b, as retas concorrentes c, d, que se cruzam em um ponto, e as retas coincidentes e, f.

A seguir, exemplos:

1. Estude a posição relativa das retas p e q, dadas pelas equações p: −x + 3y − 5 = 0 e q: 2x + 3y − 17 = 0. Com as duas equações formamos um sistema de equações lineares e resolvemos esse sistema:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Multiplicamos a primeira equação por dois:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   E somamos as equações:

   $$-2x+6y-10+(2x+3y-17)=0$$

   As demais transformações são fáceis:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10+(2x+3y-17)& =& 0\\ 6y+3y-10-17& =& 0\\ 9y-27& =& 0\\ y-3& =& 0\\ y=3\end{array}$$

   Ainda calculamos x, por exemplo substituindo o valor y = 3 na equação −x + 3y − 5 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ -x+3\cdot 3-5& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

   Obtivemos uma única solução do sistema de equações, x = 4, y = 3. Isso significa que as retas são concorrentes e se cruzam no ponto X(4, 3). Figura:

   

2. Estude a posição relativa das retas p e q, dadas pela equação p: 2x + y − 8 = 0 e pelas equações paramétricas da reta q:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Neste caso, temos uma equação geral da reta e uma paramétrica. Resolvemos esse caso substituindo, na equação geral, x e y pelos valores da forma paramétrica. Isto é, no lugar de x na equação geral colocamos o lado direito da forma paramétrica, e o mesmo para y. Obtemos uma equação:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\end{array}$$

   E depois resolvemos a equação da maneira usual:

   $$\begin{array}{rcl}2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\\ 10-2t+2+2t-8& =& 0\\ 12-8+2t-2t& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   A equação não tem solução, e as retas, portanto, não se cruzam em nenhum ponto. As retas p e q são, assim, paralelas. Figura:

   

3. Estude a posição relativa das retas p e q, dadas pelas equações p: 3x + y − 10 = 0 e q: −9x −3y + 30 = 0. À primeira vista, vemos que a segunda equação é −3 vezes a primeira, de modo que as retas deveriam ser coincidentes. Mas vamos calcular. Formamos o sistema de equações:

   $$\begin{array}{rcl}3x+y-10& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Multiplicamos a primeira equação por 3:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   E somamos as equações:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30+(-9x-3y+30)& =& 0\\ 9x-9x+3y-3y+30-30& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

   O sistema tem infinitas soluções, as retas têm infinitos pontos em comum e, portanto, são coincidentes. Figura:

   

Determinação da posição relativa a partir do vetor diretor e do vetor normal

Se conhecemos o vetor diretor ou o vetor normal, podemos determinar a posição relativa das retas. Vale o seguinte:

1. Se os vetores diretores são colineares (linearmente dependentes), as retas são paralelas ou coincidentes.
2. Se os vetores diretores não são colineares (não são linearmente dependentes), as retas são concorrentes.
3. Se o produto escalar dos vetores diretores é nulo, as retas são perpendiculares entre si.

Os pontos anteriores valem do mesmo modo para os vetores normais. Isto é, se os vetores normais são colineares, as retas são paralelas ou coincidentes, e assim por diante.

Vamos tentar calcular os três exemplos anteriores, do capítulo passado, usando os vetores diretores e normais.

1. Estude a posição relativa das retas p e q, dadas pelas equações p: −x + 3y − 5 = 0 e q: 2x + 3y − 17 = 0. O vetor normal da reta p tem a forma $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-1,3)$, e o vetor normal da reta q tem a forma $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2,3)$. Vale que os vetores não são colineares, pois os vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ não são linearmente dependentes. Não existe nenhum a ∈ ℝ tal que $a\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Disso decorre que as retas são concorrentes.

   Calculamos ainda o produto escalar, para verificar se as retas são perpendiculares entre si. O produto escalar dos vetores normais é

   $$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2)=-2+9=7$$

   O produto escalar é diferente de zero, de modo que as retas não são perpendiculares entre si.

2. Estude a posição relativa das retas p e q, dadas pela equação p: 2x + y − 8 = 0 e pelas equações paramétricas da reta q:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Das equações paramétricas podemos ler imediatamente o vetor diretor da reta q. Ele coincide com os coeficientes do parâmetro t, de modo que o vetor diretor da reta q tem a forma $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(-1,2)$. Da equação geral da reta p, por sua vez, podemos ler imediatamente o vetor normal, que tem a forma $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(2,1)$ (os valores dos coeficientes de x e y). Do vetor normal obtemos o vetor diretor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(1,-2)$.

   (Apenas trocamos os números de lugar e multiplicamos uma das coordenadas por −1. Para os vetores (2, 1) e (1, −2) vale que o produto escalar deles é igual a zero e, por isso, se (2, 1) é vetor normal, então (1, −2) é vetor diretor.)

   Vemos que o vetor diretor da reta p é o vetor diretor da reta q multiplicado por −1, isto é, vale $-1\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}$. As retas têm, portanto, vetores diretores colineares, o que significa que as retas p e q são paralelas ou coincidentes.

   Agora devemos descobrir se as retas são paralelas ou coincidentes. Basta tomar qualquer ponto A que pertença à reta q e substituí-lo na equação que descreve a reta p. Se a equação é verdadeira, as retas são coincidentes. Caso contrário, são apenas paralelas.

   Tomamos as equações paramétricas da reta q e substituímos o parâmetro t por zero. Obtemos:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-0=5\\ y& =& 2+2\cdot 0=2\end{array}$$

   Obtivemos o ponto A(5, 2), que certamente pertence à reta q. Substituímos essas coordenadas na equação geral p: 2x + y − 8 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot 5+2-8& =& 0\\ 12-8& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Esse ponto não é solução da equação, de modo que o ponto A(5, 2) não pertence à reta p e, portanto, as retas não são coincidentes.

3. Estude a posição relativa das retas p e q, dadas pelas equações: p: −x + 3y − 6 = 0 e q: 3x + y − 14 = 0. Este exemplo é diferente do terceiro exemplo do capítulo anterior. Das duas equações podemos ler os vetores normais das duas retas. Os vetores normais têm a forma ${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p=(-1,3)$ e ${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q=(3,1)$. Os vetores normais não são linearmente dependentes/colineares, pois não existe nenhum a real tal que $a\cdot {\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p={\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q$.

   Agora vamos descobrir se as retas são perpendiculares. Calculamos o produto escalar:

   $${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p\cdot {\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q=(-1,3)\cdot (3,1)=-3+3=0$$

   O produto escalar deu zero, e os vetores são perpendiculares entre si. Por isso, as próprias retas também são perpendiculares entre si. Figura:

   

   Se quisermos descobrir o ponto de interseção das duas retas, precisamos calculá-lo a partir das equações. Formamos, com as equações gerais, um sistema de equações:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Multiplicamos a primeira equação por −3:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Agora somamos as equações e continuamos a transformação:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18+(3x+y-14)& =& 0\\ 9y+y-18-14& =& 0\\ 10y-32& =& 0\\ y=\frac{32}{10}=\frac{16}{5}\end{array}$$

   Calculamos a coordenada x substituindo o resultado em alguma das equações, por exemplo em −x + 3y − 6 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ -x+3\cdot \frac{16}{5}-6& =& 0\\ -x+\frac{48}{5}-\frac{30}{5}& =& 0\\ -x+\frac{18}{5}& =& 0\\ x& =& \frac{18}{5}\end{array}$$

   Obtemos as coordenadas do ponto de interseção das duas retas $P(\frac{18}{5},\frac{16}{5})$.