İki Doğrunun Birbirine Göre Durumu

Düzlemdeki iki doğru için toplam dört farklı durum ayırt edebiliriz. Doğrular paralel, kesişen, dik veya çakışık olabilir.

Denklemlerden Durumu Belirleme

İki doğru ve bunların iki denklemi verilmişse bu iki denklemin oluşturduğu sistemi çözmemiz yeterlidir. Toplam üç durum ortaya çıkabilir:

1. Sistemin çözümü yoktur — doğruların ortak noktası yoktur, dolayısıyla paraleldirler.
2. Sistemin tam olarak bir çözümü vardır — doğruların tam olarak bir ortak noktası (kesişim noktası) vardır, dolayısıyla kesişen doğrulardır.
3. Sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır — doğruların sonsuz sayıda ortak noktası vardır, dolayısıyla çakışık doğrulardır.

Bu yolla doğruların birbirine dik olup olmadığını öğrenemeyeceğimize dikkat et.

Şekilde a, b paralel doğrularını, tek bir noktada kesişen c, d doğrularını ve çakışık e, f doğrularını görüyoruz.

Örnekler:

1. p: −x + 3y − 5 = 0 ve q: 2x + 3y − 17 = 0 denklemleriyle verilen p ve q doğrularının birbirine göre durumunu incele. İki denklemden bir doğrusal denklem sistemi kurar ve bu sistemi çözeriz:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Birinci denklemi ikiyle çarpalım:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Ve denklemleri toplayalım:

   $$-2x+6y-10+(2x+3y-17)=0$$

   Sonraki düzenlemeler kolaydır:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10+(2x+3y-17)& =& 0\\ 6y+3y-10-17& =& 0\\ 9y-27& =& 0\\ y-3& =& 0\\ y=3\end{array}$$

   x’i de hesaplayalım; örneğin y = 3 değerini −x + 3y − 5 = 0 denkleminde yerine yazarak:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ -x+3\cdot 3-5& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

   Denklem sisteminin tek bir çözümü çıktı: x = 4, y = 3. Bu, doğruların kesişen doğrular olduğu ve X(4, 3) noktasında kesiştikleri anlamına gelir. Şekil:

   

2. p: 2x + y − 8 = 0 denklemiyle ve q doğrusunun parametrik ifadesiyle verilen p ve q doğrularının birbirine göre durumunu incele:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Bu durumda bir tane genel denklemimiz ve bir tane parametrik denklemimiz var. Bu durumu, genel denklemde x ve y yerine parametrik ifadedeki değerleri yazarak çözeriz. Yani genel denklemde x yerine parametrik ifadenin sağ tarafını, y için de aynısını yazarız. Tek bir denklem elde ederiz:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\end{array}$$

   Denklemi artık olağan biçimde düzenleriz:

   $$\begin{array}{rcl}2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\\ 10-2t+2+2t-8& =& 0\\ 12-8+2t-2t& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Denklemin çözümü yoktur, yani doğrular hiçbir noktada kesişmez. Demek ki p ve q doğruları paraleldir. Şekil:

   

3. p: 3x + y − 10 = 0 ve q: −9x −3y + 30 = 0 denklemleriyle verilen p ve q doğrularının birbirine göre durumunu incele. İkinci denklemin birinci denklemin −3 katı olduğu ilk bakışta görülüyor, yani doğrular çakışık olmalı. Ama yine de hesaplayalım. Denklem sistemini kuralım:

   $$\begin{array}{rcl}3x+y-10& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Birinci denklemi 3 ile çarpalım:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Ve denklemleri toplayalım:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30+(-9x-3y+30)& =& 0\\ 9x-9x+3y-3y+30-30& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

   Sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır; doğruların sonsuz sayıda ortak noktası vardır, dolayısıyla çakışıktırlar. Şekil:

   

Yön Vektöründen ve Normal Vektörden Durumu Belirleme

Yön vektörünü veya normal vektörü biliyorsak doğruların birbirine göre durumunu belirleyebiliriz. Şunlar geçerlidir:

1. Yön vektörleri paralel (doğrusal bağımlı) ise doğrular paraleldir veya çakışıktır.
2. Yön vektörleri paralel değilse (doğrusal bağımlı değilse) doğrular kesişendir.
3. Yön vektörlerinin skaler çarpımı sıfırsa doğrular birbirine diktir.

Yukarıdaki maddeler normal vektörler için de aynı şekilde geçerlidir. Yani normal vektörler paralelse doğrular paraleldir veya çakışıktır, vb.

Önceki bölümdeki üç örneği şimdi yön vektörleri ve normal vektörler yardımıyla hesaplayalım.

1. p: −x + 3y − 5 = 0 ve q: 2x + 3y − 17 = 0 denklemleriyle verilen p ve q doğrularının birbirine göre durumunu incele. p doğrusunun normal vektörü $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-1,3)$, q doğrusunun normal vektörü $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2,3)$ biçimindedir. $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ vektörleri doğrusal bağımlı olmadığından vektörler paralel değildir. $a\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{\mathbf{v}}$ olacak şekilde hiçbir a ∈ ℝ yoktur. Buradan doğruların kesişen doğrular olduğu sonucu çıkar.

   Doğruların birbirine dik olup olmadığını doğrulamak için bir de skaler çarpımı hesaplayalım. Normal vektörlerin skaler çarpımı

   $$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2)=-2+9=7$$

   olur. Skaler çarpım sıfırdan farklı olduğundan doğrular birbirine dik değildir.

2. p: 2x + y − 8 = 0 denklemiyle ve q doğrusunun parametrik ifadesiyle verilen p ve q doğrularının birbirine göre durumunu incele:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Parametrik ifadeden q doğrusunun yön vektörünü hemen okuyabiliriz. Bu vektör t parametresinin katsayılarına eşittir, yani q doğrusunun yön vektörü $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(-1,2)$ biçimindedir. p doğrusunun genel denkleminden de normal vektörü hemen okuyabiliriz; normal vektör $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(2,1)$ biçimindedir (x ve y’nin önündeki katsayıların değerleri). Normal vektörden yön vektörünü buluruz: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(1,-2)$.

   (Yalnızca sayıların yerini değiştirdik ve koordinatlardan birini −1 ile çarptık. (2, 1) ve (1, −2) vektörlerinin skaler çarpımı sıfıra eşittir; bu yüzden (2, 1) normal vektörse (1, −2) yön vektörüdür.)

   p doğrusunun yön vektörünün, q doğrusunun yön vektörünün −1 katı olduğunu görüyoruz: $-1\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Yani doğruların yön vektörleri paraleldir; bu da p ve q doğrularının paralel veya çakışık olduğu anlamına gelir.

   Şimdi doğruların paralel mi yoksa çakışık mı olduğunu öğrenmeliyiz. q doğrusu üzerinde bulunan herhangi bir A noktasını alıp p doğrusunu anlatan denklemde yerine yazmak yeterlidir. Denklem sağlanırsa doğrular çakışıktır. Aksi hâlde yalnızca paraleldirler.

   q doğrusunun parametrik ifadesini alıp t parametresi yerine sıfır yazalım. Şunu elde ederiz:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-0=5\\ y& =& 2+2\cdot 0=2\end{array}$$

   q doğrusu üzerinde kesinlikle bulunan A(5, 2) noktasını elde ettik. Bu koordinatları p: 2x + y − 8 = 0 genel denkleminde yerine yazalım:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot 5+2-8& =& 0\\ 12-8& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Bu nokta denklemin çözümü değildir; yani A(5, 2) noktası p doğrusu üzerinde değildir ve doğrular çakışık değildir.

3. p: −x + 3y − 6 = 0 ve q: 3x + y − 14 = 0 denklemleriyle verilen p ve q doğrularının birbirine göre durumunu incele. Bu örnek, önceki bölümdeki üçüncü örnekten farklıdır. İki denklemden de iki doğrunun normal vektörlerini okuyabiliriz. Normal vektörler ${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p=(-1,3)$ ve ${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q=(3,1)$ biçimindedir. Normal vektörler doğrusal bağımlı/paralel değildir; $a\cdot {\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p={\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q$ olacak şekilde hiçbir gerçek a yoktur.

   Şimdi doğruların dik olup olmadığını öğrenelim. Skaler çarpımı hesaplayalım:

   $${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p\cdot {\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q=(-1,3)\cdot (3,1)=-3+3=0$$

   Skaler çarpım sıfır çıktı, vektörler birbirine diktir. Bu yüzden doğruların kendileri de birbirine diktir. Şekil:

   

   İki doğrunun kesişim noktasını öğrenmek istersek bunu denklemlerden hesaplamamız gerekir. Genel denklemlerden bir denklem sistemi kuralım:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Birinci denklemi −3 ile çarpalım:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Şimdi denklemleri toplayıp düzenlemeye devam edelim:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18+(3x+y-14)& =& 0\\ 9y+y-18-14& =& 0\\ 10y-32& =& 0\\ y=\frac{32}{10}=\frac{16}{5}\end{array}$$

   x koordinatını denklemlerden birinde, örneğin −x + 3y − 6 = 0 denkleminde yerine yazarak hesaplarız:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ -x+3\cdot \frac{16}{5}-6& =& 0\\ -x+\frac{48}{5}-\frac{30}{5}& =& 0\\ -x+\frac{18}{5}& =& 0\\ x& =& \frac{18}{5}\end{array}$$

   İki doğrunun kesişim noktasının koordinatları $P(\frac{18}{5},\frac{16}{5})$ çıkar.