Position relative de deux droites

Pour deux droites du plan, on peut distinguer quatre situations différentes. Les droites peuvent être parallèles, sécantes, perpendiculaires ou confondues.

Détermination de la position relative à partir des équations

Si l’on dispose de deux droites et de leurs deux équations, on résout simplement le système formé par ces deux équations. Trois cas peuvent alors se présenter :

Le système n’a aucune solution – les droites n’ont aucun point commun, elles sont donc parallèles.
Le système a une unique solution – les droites ont un seul point commun, elles sont donc sécantes.
Le système a une infinité de solutions – les droites ont une infinité de points communs, elles sont donc confondues.

Remarque que cette méthode ne permet pas de savoir si les droites sont perpendiculaires.

Trois positions relatives différentes de droites

Sur la figure, on voit les droites parallèles a, b, les droites sécantes c, d, qui se coupent en un point, et les droites confondues e, f.

Voici les exemples :

Étudie la position relative des droites p et q données par les équations p: −x + 3y − 5 = 0 et q: 2x + 3y − 17 = 0. À partir des deux équations, on forme un système d’équations linéaires que l’on résout :

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y - 5 & = & 0 \\ 2 x + 3 y - 17 & = & 0 \end{array}$

On multiplie la première équation par 2 :

$\begin{array}{rcl} - 2 x + 6 y - 10 & = & 0 \\ 2 x + 3 y - 17 & = & 0 \end{array}$

On additionne les deux équations :

$- 2 x + 6 y - 10 + (2 x + 3 y - 17) = 0$

Les calculs suivants sont simples :

$\begin{array}{rcl} - 2 x + 6 y - 10 + (2 x + 3 y - 17) & = & 0 \\ 6 y + 3 y - 10 - 17 & = & 0 \\ 9 y - 27 & = & 0 \\ y - 3 & = & 0 \\ y = 3 \end{array}$

Calculons encore x, par exemple en remplaçant y par 3 dans l’équation −x + 3y − 5 = 0 :

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y - 5 & = & 0 \\ - x + 3 \cdot 3 - 5 & = & 0 \\ - x + 4 & = & 0 \\ x & = & 4 \end{array}$

On obtient une unique solution du système, x = 4, y = 3. Cela signifie que les droites sont sécantes et se coupent au point X(4 ; 3). Figure :
Étudie la position relative des droites p et q, où p est donnée par l’équation p: 2x + y − 8 = 0 et q par la représentation paramétrique de la droite :

$\begin{array}{rcl} x & = & 5 - t \\ y & = & 2 + 2 t \end{array}$

Dans ce cas, nous disposons d’une équation cartésienne de la droite et d’une représentation paramétrique. Nous résolvons ce cas en substituant dans l’équation cartésienne les expressions de x et de y données par la représentation paramétrique. C’est-à-dire que l’on remplace x dans l’équation cartésienne par le membre de droite de la représentation paramétrique, et de même pour y. On obtient une seule équation :

$\begin{array}{rcl} 2 x + y - 8 & = & 0 \\ 2 \cdot (5 - t) + (2 + 2 t) - 8 & = & 0 \end{array}$

On simplifie ensuite l’équation de façon usuelle :

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (5 - t) + (2 + 2 t) - 8 & = & 0 \\ 10 - 2 t + 2 + 2 t - 8 & = & 0 \\ 12 - 8 + 2 t - 2 t & = & 0 \\ 4 & = & 0 \end{array}$

L’équation n’a aucune solution : les droites n’ont donc aucun point commun. Les droites p et q sont donc parallèles. Figure :
Étudie la position relative des droites p et q données par les équations p: 3x + y − 10 = 0 et q: −9x −3y + 30 = 0. À première vue, on voit que la seconde équation est égale à −3 fois la première, donc les droites devraient être confondues. Mais vérifions-le par le calcul. On forme le système :

$\begin{array}{rcl} 3 x + y - 10 & = & 0 \\ - 9 x - 3 y + 30 & = & 0 \end{array}$

On multiplie la première équation par 3 :

$\begin{array}{rcl} 9 x + 3 y - 30 & = & 0 \\ - 9 x - 3 y + 30 & = & 0 \end{array}$

On additionne les deux équations :

$\begin{array}{rcl} 9 x + 3 y - 30 + (- 9 x - 3 y + 30) & = & 0 \\ 9 x - 9 x + 3 y - 3 y + 30 - 30 & = & 0 \\ 0 & = & 0 \end{array}$

Le système a une infinité de solutions : les droites ont une infinité de points communs et sont donc confondues. Figure :

Détermination de la position relative à partir du vecteur directeur et du vecteur normal

Si l’on connaît le vecteur directeur ou le vecteur normal, on peut déterminer la position relative des droites. On a alors :

Si les vecteurs directeurs sont colinéaires (linéairement dépendants), les droites sont parallèles ou confondues.
Si les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires (ne sont pas linéairement dépendants), les droites sont sécantes.
Si le produit scalaire des vecteurs directeurs est nul, les droites sont perpendiculaires.

Ces propriétés valent de la même façon pour les vecteurs normaux. C’est-à-dire que si les vecteurs normaux sont colinéaires, les droites sont parallèles ou confondues, et ainsi de suite.

Essayons de refaire les trois exemples du chapitre précédent à l’aide des vecteurs directeurs et des vecteurs normaux.

Étudie la position relative des droites p et q données par p: −x + 3y − 5 = 0 et q: 2x + 3y − 17 = 0. Le vecteur normal de p est $\vec{u} (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix})$ , celui de q est $\vec{v} (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})$ . Les vecteurs ne sont pas colinéaires, car ils ne sont pas linéairement dépendants : il n’existe aucun réel a tel que $a \cdot \vec{u} = \vec{v}$ . Les droites sont donc sécantes.

Calculons encore le produit scalaire pour vérifier si les droites sont perpendiculaires. Le produit scalaire des vecteurs normaux est :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2}) = - 2 + 9 = 7$

Le produit scalaire est non nul : les droites ne sont donc pas perpendiculaires.
Étudie la position relative des droites p et q, où p est donnée par l’équation p: 2x + y − 8 = 0 et q par la représentation paramétrique de la droite :

$\begin{array}{rcl} x & = & 5 - t \\ y & = & 2 + 2 t \end{array}$

On peut lire directement le vecteur directeur de q dans sa représentation paramétrique : il est formé des coefficients du paramètre t, donc le vecteur directeur de q a pour coordonnées $\vec{v} (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix})$ . De même, on lit directement dans l’équation cartésienne de p un vecteur normal, de coordonnées $\vec{n} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ (valeurs des coefficients devant x et y). On en déduit un vecteur directeur $\vec{u} (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix})$ .

(Il suffit d’échanger les nombres et de multiplier l’une des coordonnées par −1. Pour les vecteurs $(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ et $(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix})$ , le produit scalaire est nul ; donc si $(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ est un vecteur normal, alors $(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix})$ est un vecteur directeur.)

On voit que le vecteur directeur de p est égal à −1 fois celui de q : $- 1 \cdot \vec{v} = \vec{u}$ . Les vecteurs directeurs des deux droites sont donc colinéaires, ce qui signifie que p et q sont parallèles ou confondues.

Il reste à savoir si les droites sont parallèles ou confondues. Il suffit de prendre un point quelconque A de la droite q et de le substituer dans l’équation de p. Si l’égalité est vraie, les droites sont confondues ; sinon, elles sont seulement parallèles.

Prenons la représentation paramétrique de q et posons t = 0. On obtient :

$\begin{array}{rcl} x & = & 5 - 0 = 5 \\ y & = & 2 + 2 \cdot 0 = 2 \end{array}$

On obtient le point A(5 ; 2), qui se trouve certainement sur la droite q. On substitue ces coordonnées dans l’équation cartésienne p: 2x + y − 8 = 0 :

$\begin{array}{rcl} 2 x + y - 8 & = & 0 \\ 2 \cdot 5 + 2 - 8 & = & 0 \\ 12 - 8 & = & 0 \\ 4 & = & 0 \end{array}$

Ce point ne vérifie pas l’équation : le point A(5 ; 2) n’appartient donc pas à la droite p, et les droites ne sont pas confondues.
Étudie la position relative des droites p et q données par p: −x + 3y − 6 = 0 et q: 3x + y − 14 = 0. Cet exemple diffère du troisième exemple du chapitre précédent. On peut lire les vecteurs normaux des deux droites directement dans leurs équations : ${\vec{n}}_{p} (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix})$ et ${\vec{n}}_{q} (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix})$ . Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : il n’existe aucun réel a tel que $a \cdot {\vec{n}}_{p} = {\vec{n}}_{q}$ .

Vérifions maintenant si les droites sont perpendiculaires. Calculons le produit scalaire :

${\vec{n}}_{p} \cdot {\vec{n}}_{q} = (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) = - 3 + 3 = 0$

Le produit scalaire est nul : les vecteurs sont orthogonaux, et les droites elles-mêmes sont donc perpendiculaires. Figure :

Si l’on veut déterminer le point d’intersection des deux droites, il faut le calculer à partir des équations. On forme avec les équations cartésiennes un système d’équations :

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y - 6 & = & 0 \\ 3 x + y - 14 & = & 0 \end{array}$

On multiplie la première équation par −3 :

$\begin{array}{rcl} - 3 x + 9 y - 18 & = & 0 \\ 3 x + y - 14 & = & 0 \end{array}$

On additionne les équations et on simplifie :

$\begin{array}{rcl} - 3 x + 9 y - 18 + (3 x + y - 14) & = & 0 \\ 9 y + y - 18 - 14 & = & 0 \\ 10 y - 32 & = & 0 \\ y = \frac{32}{10} = \frac{16}{5} \end{array}$

On calcule l’abscisse x en substituant dans l’une des équations, par exemple dans −x + 3y − 6 = 0 :

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y - 6 & = & 0 \\ - x + 3 \cdot \frac{16}{5} - 6 & = & 0 \\ - x + \frac{48}{5} - \frac{30}{5} & = & 0 \\ - x + \frac{18}{5} & = & 0 \\ x & = & \frac{18}{5} \end{array}$

On obtient ainsi les coordonnées du point d’intersection des deux droites : $P (\frac{18}{5}; \frac{16}{5})$ .

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