Linjers inbördes läge

För två linjer i planet kan vi skilja på fyra olika fall. Linjerna kan vara parallella, skärande, vinkelräta eller sammanfallande.

Bestämma inbördes läge ur ekvationerna

Om vi har två linjer och deras två ekvationer löser vi helt enkelt ekvationssystemet av de två ekvationerna. Det finns tre fall:

1. Systemet saknar lösning – linjerna har ingen gemensam punkt och är därför parallella.
2. Systemet har exakt en lösning – linjerna har exakt en gemensam punkt, en skärningspunkt, och är därför skärande.
3. Systemet har oändligt många lösningar – linjerna har oändligt många gemensamma punkter och är därför sammanfallande.

Lägg märke till att vi på det här sättet inte får veta om linjerna är vinkelräta mot varandra.

I figuren ser vi de parallella linjerna a, b, de skärande linjerna c, d, som skär varandra i en punkt, och de sammanfallande linjerna e, f.

Här följer exempel:

1. Undersök inbördes läge för linjerna p och q, som är givna av ekvationerna p: −x + 3y − 5 = 0 och q: 2x + 3y − 17 = 0. Av de två ekvationerna bildar vi ett linjärt ekvationssystem och löser det:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Vi multiplicerar den första ekvationen med två:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Sedan adderar vi ekvationerna:

   $$-2x+6y-10+(2x+3y-17)=0$$

   De fortsatta omformningarna är enkla:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10+(2x+3y-17)& =& 0\\ 6y+3y-10-17& =& 0\\ 9y-27& =& 0\\ y-3& =& 0\\ y=3\end{array}$$

   Vi beräknar också x, till exempel genom att sätta in värdet y = 3 i ekvationen −x + 3y − 5 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ -x+3\cdot 3-5& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

   Vi fick en enda lösning till ekvationssystemet, x = 4, y = 3. Det betyder att linjerna är skärande och skär varandra i punkten X(4, 3). Figur:

   

2. Undersök inbördes läge för linjerna p och q, givna av ekvationen p: 2x + y − 8 = 0 och parameterframställningen av linjen q:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Här har vi en ekvation på allmän form och en parameterframställning. Det här fallet löser vi genom att i ekvationen på allmän form sätta in värdena från parameterframställningen för x och y. Det vill säga, för x i ekvationen på allmän form sätter vi in högerledet i parameterframställningen, och på samma sätt för y. Då får vi en ekvation:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\end{array}$$

   Sedan förenklar vi ekvationen som vanligt:

   $$\begin{array}{rcl}2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\\ 10-2t+2+2t-8& =& 0\\ 12-8+2t-2t& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Ekvationen saknar lösning, så linjerna skär varandra inte i någon punkt. Linjerna p och q är alltså parallella. Figur:

   

3. Undersök inbördes läge för linjerna p och q givna av ekvationerna p: 3x + y − 10 = 0 och q: −9x −3y + 30 = 0. Redan vid en första anblick ser vi att den andra ekvationen är −3 gånger den första, så linjerna borde vara sammanfallande. Men vi räknar ut det. Vi ställer upp ekvationssystemet:

   $$\begin{array}{rcl}3x+y-10& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Vi multiplicerar den första ekvationen med 3:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Sedan adderar vi ekvationerna:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30+(-9x-3y+30)& =& 0\\ 9x-9x+3y-3y+30-30& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

   Systemet har oändligt många lösningar, linjerna har oändligt många gemensamma punkter och är därför sammanfallande. Figur:

   

Bestämma inbördes läge ur riktningsvektorn och normalvektorn

Om vi känner riktningsvektorn eller normalvektorn kan vi bestämma linjernas inbördes läge. Då gäller:

1. Om riktningsvektorerna är parallella (linjärt beroende), är linjerna parallella eller sammanfallande.
2. Om riktningsvektorerna inte är parallella (inte linjärt beroende), är linjerna skärande.
3. Om skalärprodukten av riktningsvektorerna är noll, är linjerna vinkelräta mot varandra.

Punkterna ovan gäller på samma sätt för normalvektorer. Det vill säga, om normalvektorerna är parallella, är linjerna parallella eller sammanfallande, och så vidare.

Vi räknar nu de tre exemplen från förra avsnittet med hjälp av riktnings- och normalvektorer.

1. Undersök inbördes läge för linjerna p och q, som är givna av ekvationerna p: −x + 3y − 5 = 0 och q: 2x + 3y − 17 = 0. Normalvektorn till linjen p är $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-1,3)$, normalvektorn till linjen q är $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2,3)$. Vektorerna är inte parallella, eftersom vektorerna $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ inte är linjärt beroende. Det finns inget a ∈ ℝ sådant att $a\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Av det följer att linjerna är skärande.

   Vi beräknar också skalärprodukten för att avgöra om linjerna är vinkelräta mot varandra. Skalärprodukten av normalvektorerna är

   $$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2)=-2+9=7$$

   Skalärprodukten är skild från noll, så linjerna är inte vinkelräta mot varandra.

2. Undersök inbördes läge för linjerna p och q givna av ekvationen p: 2x + y − 8 = 0 och parameterframställningen av linjen q:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Ur parameterframställningen kan vi direkt läsa av riktningsvektorn till linjen q. Den är lika med koefficienterna framför parametern t, så riktningsvektorn till linjen q är $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(-1,2)$. Ur ekvationen på allmän form för linjen p kan vi i sin tur direkt läsa av normalvektorn, som är $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(2,1)$ (koefficienterna framför x och y). Ur normalvektorn får vi riktningsvektorn $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(1,-2)$.

   (Vi bytte bara plats på talen och multiplicerade den ena koordinaten med −1. För vektorerna (2, 1) och (1, −2) gäller att deras skalärprodukt är noll, så om (2, 1) är en normalvektor, är (1, −2) en riktningsvektor.)

   Vi ser att riktningsvektorn till linjen p är −1 gånger riktningsvektorn till linjen q, det gäller att $-1\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Linjernas riktningsvektorer är alltså parallella, vilket betyder att linjerna p och q är parallella eller sammanfallande.

   Nu ska vi ta reda på om linjerna är parallella eller sammanfallande. Det räcker att ta en godtycklig punkt A som ligger på linjen q och sätta in den i ekvationen som beskriver linjen p. Om ekvationen gäller är linjerna sammanfallande. Annars är de bara parallella.

   Vi tar parameterframställningen av linjen q och sätter in noll för parametern t. Vi får:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-0=5\\ y& =& 2+2\cdot 0=2\end{array}$$

   Vi fick punkten A(5, 2), som säkert ligger på linjen q. De koordinaterna sätter vi in i ekvationen på allmän form p: 2x + y − 8 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot 5+2-8& =& 0\\ 12-8& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Punkten är ingen lösning till ekvationen, så punkten A(5, 2) ligger inte på linjen p, och linjerna är därför inte sammanfallande.

3. Undersök inbördes läge för linjerna p och q, som är givna av ekvationerna: p: −x + 3y − 6 = 0 och q: 3x + y − 14 = 0. Det här exemplet skiljer sig från det tredje exemplet i förra avsnittet. Ur båda ekvationerna kan vi läsa av linjernas normalvektorer. Normalvektorerna är ${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p=(-1,3)$ och ${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q=(3,1)$. Normalvektorerna är inte linjärt beroende och inte parallella, det finns inget reellt a sådant att $a\cdot {\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p={\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q$.

   Nu tar vi reda på om linjerna är vinkelräta. Vi beräknar skalärprodukten:

   $${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p\cdot {\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q=(-1,3)\cdot (3,1)=-3+3=0$$

   Skalärprodukten blev noll, så vektorerna är vinkelräta mot varandra. Därför är också själva linjerna vinkelräta mot varandra. Figur:

   

   Om vi vill få reda på linjernas skärningspunkt måste vi beräkna den ur ekvationerna. Av ekvationerna på allmän form ställer vi upp ett ekvationssystem:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Vi multiplicerar den första ekvationen med −3:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Nu adderar vi ekvationerna och förenklar vidare:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18+(3x+y-14)& =& 0\\ 9y+y-18-14& =& 0\\ 10y-32& =& 0\\ y=\frac{32}{10}=\frac{16}{5}\end{array}$$

   x-koordinaten beräknar vi genom att sätta in i någon av ekvationerna, till exempel i −x + 3y − 6 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ -x+3\cdot \frac{16}{5}-6& =& 0\\ -x+\frac{48}{5}-\frac{30}{5}& =& 0\\ -x+\frac{18}{5}& =& 0\\ x& =& \frac{18}{5}\end{array}$$

   Skärningspunkten mellan linjerna har koordinaterna $P(\frac{18}{5},\frac{16}{5})$.