Suorien keskinäinen asema

Tason kahdella suoralla voi olla neljä erilaista keskinäistä asemaa. Suorat voivat olla yhdensuuntaiset, leikkaavat, kohtisuorat tai yhtyvät.

Keskinäisen aseman määrittäminen yhtälöistä

Jos meillä on kaksi suoraa ja niiden kaksi yhtälöä, ratkaisemme yksinkertaisesti näiden kahden yhtälön muodostaman yhtälöryhmän. Tapauksia on kolme:

1. Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua — suorilla ei ole yhteistä pistettä, joten ne ovat yhdensuuntaiset.
2. Yhtälöryhmällä on täsmälleen yksi ratkaisu — suorilla on täsmälleen yksi yhteinen piste eli leikkauspiste, joten suorat ovat leikkaavat.
3. Yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua — suorilla on äärettömän monta yhteistä pistettä, joten suorat yhtyvät.

Huomaa, että tällä tavalla emme saa selville, ovatko suorat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Kuvassa näemme yhdensuuntaiset suorat a, b, leikkaavat suorat c, d, jotka leikkaavat toisensa yhdessä pisteessä, sekä yhtyvät suorat e, f.

Seuraavassa on esimerkkejä:

1. Tutki suorien p ja q keskinäistä asemaa, kun ne on annettu yhtälöillä p: −x + 3y − 5 = 0 ja q: 2x + 3y − 17 = 0. Muodostetaan molemmista yhtälöistä lineaarinen yhtälöryhmä ja ratkaistaan se:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Kerrotaan ensimmäinen yhtälö kahdella:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Ja lasketaan yhtälöt yhteen:

   $$-2x+6y-10+(2x+3y-17)=0$$

   Seuraavat muokkaukset ovat helppoja:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10+(2x+3y-17)& =& 0\\ 6y+3y-10-17& =& 0\\ 9y-27& =& 0\\ y-3& =& 0\\ y=3\end{array}$$

   Vielä lasketaan x, esimerkiksi sijoittamalla arvo y = 3 yhtälöön −x + 3y − 5 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ -x+3\cdot 3-5& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

   Saimme yhtälöryhmän ainoaksi ratkaisuksi x = 4, y = 3. Se tarkoittaa, että suorat leikkaavat toisensa pisteessä X = (4, 3). Kuva:

   

2. Tutki suorien p ja q keskinäistä asemaa, kun ne on annettu yhtälöllä p: 2x + y − 8 = 0 ja suoran q parametriesityksellä:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Tässä tapauksessa meillä on yksi suoran yleinen yhtälö ja yksi parametriesitys. Ratkaisemme tämän tapauksen sijoittamalla yleiseen yhtälöön x:n ja y:n paikalle parametriesityksen arvot. Toisin sanoen yleisessä yhtälössä x:n paikalle sijoitetaan parametriesityksen oikea puoli, ja sama tehdään y:lle. Saamme yhden yhtälön:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\end{array}$$

   Ja muokataan yhtälöä edelleen tavalliseen tapaan:

   $$\begin{array}{rcl}2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\\ 10-2t+2+2t-8& =& 0\\ 12-8+2t-2t& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Yhtälöllä ei ole ratkaisua, joten suorilla ei ole yhtään yhteistä pistettä. Suorat p ja q ovat siis yhdensuuntaiset. Kuva:

   

3. Tutki suorien p ja q keskinäistä asemaa, kun ne on annettu yhtälöillä p: 3x + y − 10 = 0 ja q: −9x −3y + 30 = 0. Ensi silmäyksellä näkee, että toinen yhtälö on ensimmäisen yhtälön −3-kertainen, joten suorien pitäisi yhtyä. Mutta lasketaan se. Muodostetaan yhtälöryhmä:

   $$\begin{array}{rcl}3x+y-10& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Kerrotaan ensimmäinen yhtälö luvulla 3:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Ja lasketaan yhtälöt yhteen:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30+(-9x-3y+30)& =& 0\\ 9x-9x+3y-3y+30-30& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

   Yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua, suorilla on äärettömän monta yhteistä pistettä, joten ne yhtyvät. Kuva:

   

Keskinäisen aseman määrittäminen suunta- ja normaalivektorista

Jos tunnemme suuntavektorin tai normaalivektorin, voimme määrittää suorien keskinäisen aseman. Tällöin pätee:

1. Jos suuntavektorit ovat yhdensuuntaiset (lineaarisesti riippuvat), suorat ovat yhdensuuntaiset tai yhtyvät.
2. Jos suuntavektorit eivät ole yhdensuuntaiset (eivät ole lineaarisesti riippuvat), suorat ovat leikkaavat.
3. Jos suuntavektorien pistetulo on nolla, suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Edelliset kohdat pätevät samoin normaalivektoreille. Eli jos normaalivektorit ovat yhdensuuntaiset, suorat ovat yhdensuuntaiset tai yhtyvät, jne.

Kokeillaan laskea edellisen luvun kolme esimerkkiä suunta- ja normaalivektorien avulla.

1. Tutki suorien p ja q keskinäistä asemaa, kun ne on annettu yhtälöillä p: −x + 3y − 5 = 0 ja q: 2x + 3y − 17 = 0. Suoran p normaalivektori on $\overline{u}=(-1,3)$ ja suoran q normaalivektori on $\overline{v}=(2,3)$. Vektorit eivät ole yhdensuuntaiset, koska vektorit $\overline{u},\overline{v}$ eivät ole lineaarisesti riippuvat. Ei ole olemassa sellaista lukua a ∈ ℝ, että $a\cdot \overline{u}=\overline{v}$. Tästä seuraa, että suorat ovat leikkaavat.

   Lasketaan vielä pistetulo selvittääksemme, ovatko suorat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Normaalivektorien pistetulo on

   $$\overline{u}\cdot \overline{v}=(u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2)=-2+9=7$$

   Pistetulo on nollasta poikkeava, joten suorat eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

2. Tutki suorien p ja q keskinäistä asemaa, kun ne on annettu yhtälöllä p: 2x + y − 8 = 0 ja suoran q parametriesityksellä:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Parametriesityksestä voimme heti lukea suoran q suuntavektorin. Se on sama kuin parametrin t kertoimet, joten suoran q suuntavektori on $\overline{v}=(-1,2)$. Suoran p yleisestä yhtälöstä voimme taas heti lukea normaalivektorin, joka on $\overline{n}=(2,1)$ (kertoimet x:n ja y:n edessä). Normaalivektorista saamme suuntavektorin $\overline{u}=(1,-2)$.

   (Vaihdoimme vain lukujen paikat ja kerroimme toisen koordinaatin luvulla −1. Vektoreille (2, 1) ja (1, −2) pätee, että niiden pistetulo on nolla, joten jos (2, 1) on normaalivektori, niin (1, −2) on suuntavektori.)

   Näemme, että suoran p suuntavektori on suoran q suuntavektorin −1-kertainen, eli pätee $-1\cdot \overline{v}=\overline{u}$. Suorilla on siis yhdensuuntaiset suuntavektorit, mikä tarkoittaa, että suorat p ja q ovat yhdensuuntaiset tai yhtyvät.

   Nyt meidän pitäisi selvittää, ovatko suorat yhdensuuntaiset vai yhtyvätkö ne. Riittää ottaa mikä tahansa suoralla q oleva piste A ja sijoittaa se suoraa p kuvaavaan yhtälöön. Jos yhtälö pätee, suorat yhtyvät. Muussa tapauksessa ne ovat vain yhdensuuntaiset.

   Otetaan suoran q parametriesitys ja sijoitetaan parametrin t paikalle nolla. Saamme:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-0=5\\ y& =& 2+2\cdot 0=2\end{array}$$

   Saimme pisteen A = (5, 2), joka varmasti on suoralla q. Sijoitetaan nämä koordinaatit yleiseen yhtälöön p: 2x + y − 8 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot 5+2-8& =& 0\\ 12-8& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Tämä piste ei ole yhtälön ratkaisu, joten piste A = (5, 2) ei ole suoralla p eivätkä suorat siis yhdy.

3. Tutki suorien p ja q keskinäistä asemaa, kun ne on annettu yhtälöillä: p: −x + 3y − 6 = 0 ja q: 3x + y − 14 = 0. Tämä esimerkki eroaa edellisen luvun kolmannesta esimerkistä. Molemmista yhtälöistä voimme lukea kummankin suoran normaalivektorin. Normaalivektorit ovat ${\overline{n}}_p=(-1,3)$ ja ${\overline{n}}_q=(3,1)$. Normaalivektorit eivät ole lineaarisesti riippuvat eli yhdensuuntaiset: ei ole olemassa sellaista reaalilukua a, että $a\cdot {\overline{n}}_p={\overline{n}}_q$.

   Nyt vielä selvitetään, ovatko suorat kohtisuorat. Lasketaan pistetulo:

   $${\overline{n}}_p\cdot {\overline{n}}_q=(-1,3)\cdot (3,1)=-3+3=0$$

   Pistetuloksi tuli nolla, vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Siksi myös itse suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Kuva:

   

   Jos haluaisimme selvittää suorien leikkauspisteen, meidän täytyisi laskea se yhtälöistä. Muodostetaan yleisistä yhtälöistä yhtälöryhmä:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Kerrotaan ensimmäinen yhtälö luvulla −3:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Lasketaan yhtälöt nyt yhteen ja muokataan edelleen:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18+(3x+y-14)& =& 0\\ 9y+y-18-14& =& 0\\ 10y-32& =& 0\\ y=\frac{32}{10}=\frac{16}{5}\end{array}$$

   x-koordinaatti lasketaan sijoittamalla johonkin yhtälöön, esimerkiksi yhtälöön −x + 3y − 6 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ -x+3\cdot \frac{16}{5}-6& =& 0\\ -x+\frac{48}{5}-\frac{30}{5}& =& 0\\ -x+\frac{18}{5}& =& 0\\ x& =& \frac{18}{5}\end{array}$$

   Molempien suorien leikkauspisteen koordinaateiksi tulee $P=(\frac{18}{5},\frac{16}{5})$.