Linjers indbyrdes beliggenhed

For to linjer i planen kan vi skelne mellem fire forskellige tilfælde. Linjerne kan være parallelle, skærende, vinkelrette eller sammenfaldende.

Bestemmelse af den indbyrdes beliggenhed ud fra ligningerne

Hvis vi har to linjer og deres to ligninger, løser vi blot ligningssystemet bestående af de to ligninger. Der kan i alt opstå tre tilfælde:

1. Systemet har ingen løsning — linjerne har intet fælles punkt og er derfor parallelle.
2. Systemet har præcis én løsning — linjerne har præcis ét fælles punkt, et skæringspunkt, og er derfor skærende.
3. Systemet har uendelig mange løsninger — linjerne har uendelig mange fælles punkter og er derfor sammenfaldende.

Læg mærke til, at vi ad denne vej ikke finder ud af, om linjerne er vinkelrette på hinanden.

På figuren ser vi de parallelle linjer a, b, de skærende linjer c, d, som skærer hinanden i ét punkt, og de sammenfaldende linjer e, f.

Her følger eksempler:

1. Undersøg den indbyrdes beliggenhed af linjerne p og q, som er givet ved ligningerne p: −x + 3y − 5 = 0 og q: 2x + 3y − 17 = 0. Af begge ligninger danner vi et lineært ligningssystem og løser det:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Den første ligning ganger vi med to:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Og vi lægger ligningerne sammen:

   $$-2x+6y-10+(2x+3y-17)=0$$

   De videre omskrivninger er nemme:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10+(2x+3y-17)& =& 0\\ 6y+3y-10-17& =& 0\\ 9y-27& =& 0\\ y-3& =& 0\\ y=3\end{array}$$

   Nu mangler vi at regne x ud, for eksempel ved at indsætte værdien y = 3 i ligningen −x + 3y − 5 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ -x+3\cdot 3-5& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

   Vi fik kun én løsning til ligningssystemet, x = 4, y = 3. Det betyder, at linjerne er skærende og skærer hinanden i punktet X(4, 3). Figur:

   

2. Undersøg den indbyrdes beliggenhed af linjerne p og q givet ved ligningen p: 2x + y − 8 = 0 og ved parameterfremstillingen for en linje q:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   I dette tilfælde har vi én linjeligning på formen ax + by + c = 0 og én parameterfremstilling. Dette tilfælde løser vi ved i ligningen at indsætte værdierne fra parameterfremstillingen for x og y. Dvs. for x i ligningen indsætter vi højre side af parameterfremstillingen, det samme for y. Vi får én ligning:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\end{array}$$

   Og derefter omformer vi ligningen helt almindeligt:

   $$\begin{array}{rcl}2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\\ 10-2t+2+2t-8& =& 0\\ 12-8+2t-2t& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Ligningen har ingen løsning, linjerne skærer altså ikke hinanden i noget punkt. Linjerne p og q er derfor parallelle. Figur:

   

3. Undersøg den indbyrdes beliggenhed af linjerne p og q givet ved ligningerne p: 3x + y − 10 = 0 og q: −9x −3y + 30 = 0. Man kan se med det samme, at den anden ligning er −3 gange den første ligning, så linjerne burde være sammenfaldende. Men lad os regne efter. Vi danner ligningssystemet:

   $$\begin{array}{rcl}3x+y-10& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Den første ligning ganger vi med 3:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Og vi lægger ligningerne sammen:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30+(-9x-3y+30)& =& 0\\ 9x-9x+3y-3y+30-30& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

   Systemet har uendelig mange løsninger, linjerne har uendelig mange fælles punkter og er derfor sammenfaldende. Figur:

   

Bestemmelse af den indbyrdes beliggenhed ud fra retningsvektoren og normalvektoren

Hvis vi kender retningsvektoren eller normalvektoren, kan vi bestemme linjernes indbyrdes beliggenhed. Der gælder:

1. Hvis retningsvektorerne er parallelle (lineært afhængige), er linjerne parallelle eller sammenfaldende.
2. Hvis retningsvektorerne ikke er parallelle (ikke er lineært afhængige), er linjerne skærende.
3. Hvis skalarproduktet af retningsvektorerne er nul, er linjerne vinkelrette på hinanden.

De foregående punkter gælder på samme måde for normalvektorer. Dvs. hvis normalvektorerne er parallelle, er linjerne parallelle eller sammenfaldende osv.

Vi prøver at regne de foregående tre eksempler fra det forrige afsnit ved hjælp af retningsvektorer og normalvektorer.

1. Undersøg den indbyrdes beliggenhed af linjerne p og q, som er givet ved ligningerne p: −x + 3y − 5 = 0 og q: 2x + 3y − 17 = 0. Normalvektoren til linjen p har formen $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)$, normalvektoren til linjen q har formen $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$. Vektorerne er ikke parallelle, fordi vektorerne $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ ikke er lineært afhængige. Der findes intet a ∈ ℝ sådan, at $a\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Heraf følger, at linjerne er skærende.

   Vi beregner også skalarproduktet for at undersøge, om linjerne er vinkelrette på hinanden. Skalarproduktet af normalvektorerne er

   $$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2)=-2+9=7$$

   Skalarproduktet er forskelligt fra nul, så linjerne er ikke vinkelrette på hinanden.

2. Undersøg den indbyrdes beliggenhed af linjerne p og q givet ved ligningen p: 2x + y − 8 = 0 og ved parameterfremstillingen for en linje q:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Af parameterfremstillingen kan vi straks aflæse retningsvektoren til linjen q. Den er lig med koefficienterne ved parameteren t, så retningsvektoren til linjen q har formen $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$. Af ligningen for linjen p kan vi derimod straks aflæse normalvektoren, som har formen $\overrightarrow{\mathbf{n}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ (værdierne af koefficienterne foran x og y). Af normalvektoren får vi retningsvektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$.

   (Vi har bare byttet om på tallene og ganget den ene af koordinaterne med −1. For vektorerne $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ og $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$ gælder, at deres skalarprodukt er nul, så hvis $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ er en normalvektor, så er $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$ en retningsvektor.)

   Vi ser, at retningsvektoren til linjen p er −1 gange retningsvektoren til linjen q, der gælder $-1\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Linjerne har altså retningsvektorer, som er parallelle, hvilket betyder, at linjerne p og q er parallelle eller sammenfaldende.

   Nu skulle vi finde ud af, om linjerne er parallelle eller sammenfaldende. Det er nok at tage et hvilket som helst punkt A, som ligger på linjen q, og indsætte det i den ligning, der beskriver linjen p. Hvis ligningen gælder, er linjerne sammenfaldende. Ellers er de blot parallelle.

   Vi tager parameterfremstillingen for linjen q og indsætter nul for parameteren t. Vi får:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-0=5\\ y& =& 2+2\cdot 0=2\end{array}$$

   Vi fik punktet A(5, 2), som med sikkerhed ligger på linjen q. Disse koordinater indsætter vi i ligningen p: 2x + y − 8 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot 5+2-8& =& 0\\ 12-8& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Dette punkt er ikke en løsning til ligningen, så punktet A(5, 2) ligger ikke på linjen p, og linjerne er altså ikke sammenfaldende.

3. Undersøg den indbyrdes beliggenhed af linjerne p og q, som er givet ved ligningerne: p: −x + 3y − 6 = 0 og q: 3x + y − 14 = 0. Dette eksempel adskiller sig fra det tredje eksempel i det foregående afsnit. Af begge ligninger kan vi aflæse linjernes normalvektorer. Normalvektorerne har formen ${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)$ og ${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$. Normalvektorerne er ikke lineært afhængige/parallelle, der findes intet reelt a sådan, at $a\cdot {\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p={\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q$.

   Nu undersøger vi også, om linjerne er vinkelrette. Vi beregner skalarproduktet:

   $${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p\cdot {\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)=-3+3=0$$

   Skalarproduktet blev nul, vektorerne er vinkelrette på hinanden. Derfor gælder, at også selve linjerne er vinkelrette på hinanden. Figur:

   

   Hvis vi vil finde skæringspunktet mellem de to linjer, må vi regne det ud af ligningerne. Af linjernes ligninger opstiller vi et ligningssystem:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Den første ligning ganger vi med −3:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Nu lægger vi ligningerne sammen og omformer videre:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18+(3x+y-14)& =& 0\\ 9y+y-18-14& =& 0\\ 10y-32& =& 0\\ y=\frac{32}{10}=\frac{16}{5}\end{array}$$

   x-koordinaten regner vi ud ved at indsætte i en af ligningerne, for eksempel i −x + 3y − 6 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ -x+3\cdot \frac{16}{5}-6& =& 0\\ -x+\frac{48}{5}-\frac{30}{5}& =& 0\\ -x+\frac{18}{5}& =& 0\\ x& =& \frac{18}{5}\end{array}$$

   Vi får koordinaterne til skæringspunktet mellem de to linjer $P(\frac{18}{5},\frac{16}{5})$.