Innbyrdes beliggenhet for linjer i planet

For to linjer i planet kan vi skille mellom fire ulike tilfeller. Linjene kan være parallelle, skjærende, vinkelrette eller sammenfallende.

Bestemme den innbyrdes beliggenheten ut fra likningene

Hvis vi har to linjer og de to likningene deres, løser vi bare likningssettet med disse to likningene. Det er tre mulige tilfeller:

1. Likningssettet har ingen løsning: linjene har ikke noe felles punkt og er derfor parallelle.
2. Likningssettet har nøyaktig én løsning: linjene har nøyaktig ett felles punkt, et skjæringspunkt, og linjene skjærer derfor hverandre.
3. Likningssettet har uendelig mange løsninger: linjene har uendelig mange felles punkter, og linjene er derfor sammenfallende.

Legg merke til at vi ikke finner ut om linjene står vinkelrett på hverandre på denne måten.

På figuren ser vi de parallelle linjene a, b, de skjærende linjene c, d, som krysser hverandre i ett punkt, og de sammenfallende linjene e, f.

Her er noen eksempler:

1. Undersøk den innbyrdes beliggenheten til linjene p og q som er gitt ved likningene p: −x + 3y − 5 = 0 og q: 2x + 3y − 17 = 0. Av begge likningene lager vi et lineært likningssett og løser det:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Den første likningen multipliserer vi med to:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Og vi legger sammen likningene:

   $$-2x+6y-10+(2x+3y-17)=0$$

   De videre omformingene er enkle:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10+(2x+3y-17)& =& 0\\ 6y+3y-10-17& =& 0\\ 9y-27& =& 0\\ y-3& =& 0\\ y=3\end{array}$$

   Nå mangler vi bare å regne ut x, for eksempel ved å sette inn verdien y = 3 i likningen −x + 3y − 5 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ -x+3\cdot 3-5& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

   Likningssettet har bare én løsning, x = 4, y = 3. Det betyr at linjene skjærer hverandre i punktet X(4, 3). Figur:

   

2. Undersøk den innbyrdes beliggenheten til linjene p og q gitt ved likningen p: 2x + y − 8 = 0 og parameterframstillingen for linjen q:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   I dette tilfellet har vi én generell likning for en linje og én parameterframstilling. Dette løser vi ved å sette verdiene fra parameterframstillingen inn for x og y i den generelle likningen. Det vil si at vi setter høyre side av parameterframstillingen inn for x i likningen, og det samme for y. Vi får én likning:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\end{array}$$

   Og så forenkler vi likningen på vanlig måte:

   $$\begin{array}{rcl}2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\\ 10-2t+2+2t-8& =& 0\\ 12-8+2t-2t& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Likningen har ingen løsning, så linjene skjærer ikke hverandre i noe punkt. Linjene p og q er altså parallelle. Figur:

   

3. Undersøk den innbyrdes beliggenheten til linjene p og q gitt ved likningene p: 3x + y − 10 = 0 og q: −9x −3y + 30 = 0. Det er lett å se at den andre likningen er −3 ganger den første, så linjene burde være sammenfallende. Men la oss regne det ut. Vi lager likningssettet:

   $$\begin{array}{rcl}3x+y-10& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Den første likningen multipliserer vi med 3:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Og vi legger sammen likningene:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30+(-9x-3y+30)& =& 0\\ 9x-9x+3y-3y+30-30& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

   Likningssettet har uendelig mange løsninger, linjene har uendelig mange felles punkter og er derfor sammenfallende. Figur:

   

Bestemme den innbyrdes beliggenheten ut fra retningsvektoren og normalvektoren

Hvis vi kjenner retningsvektoren eller normalvektoren, kan vi bestemme den innbyrdes beliggenheten til linjene. Da gjelder:

1. Hvis retningsvektorene er parallelle (lineært avhengige), er linjene parallelle eller sammenfallende.
2. Hvis retningsvektorene ikke er parallelle (ikke lineært avhengige), skjærer linjene hverandre.
3. Hvis skalarproduktet av retningsvektorene er null, står linjene vinkelrett på hverandre.

Punktene ovenfor gjelder på samme måte for normalvektorer. Det vil si at hvis normalvektorene er parallelle, er linjene parallelle eller sammenfallende, og så videre.

La oss prøve å regne ut de tre foregående eksemplene fra forrige kapittel med retningsvektorer og normalvektorer.

1. Undersøk den innbyrdes beliggenheten til linjene p og q som er gitt ved likningene p: −x + 3y − 5 = 0 og q: 2x + 3y − 17 = 0. Normalvektoren til linjen p er $\overrightarrow{\mathbf{u}}=[-1,3]$, og normalvektoren til linjen q er $\overrightarrow{\mathbf{v}}=[2,3]$. Vektorene er ikke parallelle, fordi vektorene $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ ikke er lineært avhengige. Det finnes ikke noe a ∈ ℝ slik at $a\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Av dette følger det at linjene skjærer hverandre.

   Vi regner også ut skalarproduktet for å kontrollere om linjene står vinkelrett på hverandre. Skalarproduktet av normalvektorene er

   $$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2)=-2+9=7$$

   Skalarproduktet er forskjellig fra null, så linjene står ikke vinkelrett på hverandre.

2. Undersøk den innbyrdes beliggenheten til linjene p og q gitt ved likningen p: 2x + y − 8 = 0 og parameterframstillingen for linjen q:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Fra parameterframstillingen kan vi med en gang lese av retningsvektoren til linjen q. Den er lik koeffisientene foran parameteren t, så retningsvektoren til linjen q er $\overrightarrow{\mathbf{v}}=[-1,2]$. Fra den generelle likningen for linjen p kan vi på samme måte lese av normalvektoren, som er $\overrightarrow{\mathbf{n}}=[2,1]$ (verdiene av koeffisientene foran x og y). Fra normalvektoren får vi retningsvektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}=[1,-2]$.

   (Vi byttet bare om på tallene og multipliserte den ene koordinaten med −1. For vektorene [2, 1] og [1, −2] er skalarproduktet lik null, så hvis [2, 1] er normalvektoren, er [1, −2] retningsvektoren.)

   Vi ser at retningsvektoren til linjen p er −1 ganger retningsvektoren til linjen q, altså $-1\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Linjene har dermed parallelle retningsvektorer, og det betyr at linjene p og q er parallelle eller sammenfallende.

   Nå må vi finne ut om linjene er parallelle eller sammenfallende. Det holder å ta et hvilket som helst punkt A som ligger på linjen q og sette det inn i likningen som beskriver linjen p. Hvis likningen stemmer, er linjene sammenfallende. Ellers er de bare parallelle.

   Vi tar parameterframstillingen for linjen q og setter inn null for parameteren t. Vi får:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-0=5\\ y& =& 2+2\cdot 0=2\end{array}$$

   Vi fikk punktet A(5, 2), som helt sikkert ligger på linjen q. Disse koordinatene setter vi inn i likningen p: 2x + y − 8 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot 5+2-8& =& 0\\ 12-8& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Dette punktet er ikke en løsning av likningen, så punktet A(5, 2) ligger ikke på linjen p, og linjene er dermed ikke sammenfallende.

3. Undersøk den innbyrdes beliggenheten til linjene p og q som er gitt ved likningene: p: −x + 3y − 6 = 0 og q: 3x + y − 14 = 0. Dette eksempelet er annerledes enn det tredje eksempelet i forrige kapittel. Av begge likningene kan vi lese av normalvektorene til begge linjene. Normalvektorene er ${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p=[-1,3]$ og ${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q=[3,1]$. Normalvektorene er ikke lineært avhengige og ikke parallelle, det finnes ikke noe reelt tall a slik at $a\cdot {\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p={\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q$.

   Nå finner vi ut om linjene står vinkelrett på hverandre. Vi regner ut skalarproduktet:

   $${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p\cdot {\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q=[-1,3]\cdot [3,1]=-3+3=0$$

   Skalarproduktet ble null, så vektorene står vinkelrett på hverandre. Derfor står også selve linjene vinkelrett på hverandre. Figur:

   

   Hvis vi vil finne skjæringspunktet mellom de to linjene, må vi regne det ut fra likningene. Av de generelle likningene setter vi opp et likningssett:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Den første likningen multipliserer vi med −3:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Nå legger vi sammen likningene og forenkler videre:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18+(3x+y-14)& =& 0\\ 9y+y-18-14& =& 0\\ 10y-32& =& 0\\ y=\frac{32}{10}=\frac{16}{5}\end{array}$$

   x-koordinaten regner vi ut ved å sette inn i en av likningene, for eksempel i −x + 3y − 6 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ -x+3\cdot \frac{16}{5}-6& =& 0\\ -x+\frac{48}{5}-\frac{30}{5}& =& 0\\ -x+\frac{18}{5}& =& 0\\ x& =& \frac{18}{5}\end{array}$$

   Vi får koordinatene til skjæringspunktet mellom de to linjene, $P(\frac{18}{5},\frac{16}{5})$.