Σχετική θέση ευθειών

Για δύο ευθείες στο επίπεδο μπορούμε να ξεχωρίσουμε συνολικά τέσσερις διαφορετικές περιπτώσεις. Οι ευθείες μπορεί να είναι παράλληλες, τεμνόμενες, κάθετες ή ταυτιζόμενες.

Προσδιορισμός της σχετικής θέσης από τις εξισώσεις

Αν έχουμε δύο ευθείες και τις δύο εξισώσεις τους, απλώς λύνουμε το σύστημα αυτών των δύο εξισώσεων. Μπορούν να συμβούν συνολικά τρεις περιπτώσεις:

Το σύστημα δεν έχει καμία λύση – οι ευθείες δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, άρα είναι παράλληλες.
Το σύστημα έχει ακριβώς μία λύση – οι ευθείες έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο (σημείο τομής), άρα είναι τεμνόμενες.
Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις – οι ευθείες έχουν άπειρα κοινά σημεία, άρα ταυτίζονται.

Πρόσεξε ότι με αυτόν τον τρόπο δεν μπορούμε να βρούμε αν οι ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους.

Τρεις διαφορετικές σχετικές θέσεις ευθειών

Στο σχήμα βλέπουμε τις παράλληλες ευθείες a, b, τις τεμνόμενες ευθείες c, d, που τέμνονται σε ένα σημείο, και τις ταυτιζόμενες ευθείες e, f.

Ακολουθούν παραδείγματα:

Εξέτασε τη σχετική θέση των ευθειών p και q, που δίνονται από τις εξισώσεις p: −x + 3y − 5 = 0 και q: 2x + 3y − 17 = 0. Από τις δύο εξισώσεις φτιάχνουμε ένα γραμμικό σύστημα και το λύνουμε:

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y - 5 & = & 0 \\ 2 x + 3 y - 17 & = & 0 \end{array}$

Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με δύο:

$\begin{array}{rcl} - 2 x + 6 y - 10 & = & 0 \\ 2 x + 3 y - 17 & = & 0 \end{array}$

Και προσθέτουμε τις εξισώσεις:

$- 2 x + 6 y - 10 + (2 x + 3 y - 17) = 0$

Οι υπόλοιπες πράξεις είναι εύκολες:

$\begin{array}{rcl} - 2 x + 6 y - 10 + (2 x + 3 y - 17) & = & 0 \\ 6 y + 3 y - 10 - 17 & = & 0 \\ 9 y - 27 & = & 0 \\ y - 3 & = & 0 \\ y = 3 \end{array}$

Μένει να υπολογίσουμε το x, για παράδειγμα αντικαθιστώντας την τιμή y = 3 στην εξίσωση −x + 3y − 5 = 0:

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y - 5 & = & 0 \\ - x + 3 \cdot 3 - 5 & = & 0 \\ - x + 4 & = & 0 \\ x & = & 4 \end{array}$

Βγήκε μία μόνο λύση του συστήματος, x = 4, y = 3. Αυτό σημαίνει ότι οι ευθείες είναι τεμνόμενες και τέμνονται στο σημείο X(4, 3). Σχήμα:
Εξέτασε τη σχετική θέση των ευθειών p και q που δίνονται από την εξίσωση p: 2x + y − 8 = 0 και τις παραμετρικές εξισώσεις ευθείας της q:

$\begin{array}{rcl} x & = & 5 - t \\ y & = & 2 + 2 t \end{array}$

Σε αυτή την περίπτωση έχουμε μία γενική εξίσωση ευθείας και μία παραμετρική. Αυτή την περίπτωση τη λύνουμε αντικαθιστώντας στη γενική εξίσωση τις τιμές των x και y από τις παραμετρικές εξισώσεις. Δηλαδή στη θέση του x στη γενική εξίσωση βάζουμε το δεξί μέλος της παραμετρικής εξίσωσης, το ίδιο και για το y. Παίρνουμε μία εξίσωση:

$\begin{array}{rcl} 2 x + y - 8 & = & 0 \\ 2 \cdot (5 - t) + (2 + 2 t) - 8 & = & 0 \end{array}$

Και συνεχίζουμε με τις συνηθισμένες πράξεις:

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot (5 - t) + (2 + 2 t) - 8 & = & 0 \\ 10 - 2 t + 2 + 2 t - 8 & = & 0 \\ 12 - 8 + 2 t - 2 t & = & 0 \\ 4 & = & 0 \end{array}$

Η εξίσωση δεν έχει καμία λύση, άρα οι ευθείες δεν τέμνονται σε κανένα σημείο. Οι ευθείες p και q είναι λοιπόν παράλληλες. Σχήμα:
Εξέτασε τη σχετική θέση των ευθειών p και q που δίνονται από τις εξισώσεις p: 3x + y − 10 = 0 και q: −9x −3y + 30 = 0. Με την πρώτη ματιά φαίνεται ότι η δεύτερη εξίσωση είναι η πρώτη πολλαπλασιασμένη επί −3, άρα οι ευθείες πρέπει να ταυτίζονται. Ας το υπολογίσουμε όμως. Φτιάχνουμε το σύστημα εξισώσεων:

$\begin{array}{rcl} 3 x + y - 10 & = & 0 \\ - 9 x - 3 y + 30 & = & 0 \end{array}$

Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με 3:

$\begin{array}{rcl} 9 x + 3 y - 30 & = & 0 \\ - 9 x - 3 y + 30 & = & 0 \end{array}$

Και προσθέτουμε τις εξισώσεις:

$\begin{array}{rcl} 9 x + 3 y - 30 + (- 9 x - 3 y + 30) & = & 0 \\ 9 x - 9 x + 3 y - 3 y + 30 - 30 & = & 0 \\ 0 & = & 0 \end{array}$

Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, οι ευθείες έχουν άπειρα κοινά σημεία και άρα ταυτίζονται. Σχήμα:

Προσδιορισμός της σχετικής θέσης από το παράλληλο και το κάθετο διάνυσμα

Αν ξέρουμε το παράλληλο διάνυσμα ή το κάθετο διάνυσμα, μπορούμε να προσδιορίσουμε τη σχετική θέση των ευθειών. Ισχύει μάλιστα:

Αν τα παράλληλα διανύσματα είναι συγγραμμικά (γραμμικά εξαρτημένα), τότε οι ευθείες είναι παράλληλες ή ταυτίζονται.
Αν τα παράλληλα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά (δεν είναι γραμμικά εξαρτημένα), τότε οι ευθείες είναι τεμνόμενες.
Αν το εσωτερικό γινόμενο των παράλληλων διανυσμάτων είναι μηδέν, τότε οι ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους.

Τα προηγούμενα σημεία ισχύουν με τον ίδιο τρόπο και για τα κάθετα διανύσματα. Δηλαδή αν τα κάθετα διανύσματα είναι συγγραμμικά, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες ή ταυτίζονται κτλ.

Ας δοκιμάσουμε να λύσουμε τα τρία παραδείγματα της προηγούμενης ενότητας με τη βοήθεια των παράλληλων και των κάθετων διανυσμάτων.

Εξέτασε τη σχετική θέση των ευθειών p και q, που δίνονται από τις εξισώσεις p: −x + 3y − 5 = 0 και q: 2x + 3y − 17 = 0. Το κάθετο διάνυσμα της ευθείας p είναι το $\vec{u} = (- 1, 3)$ , το κάθετο διάνυσμα της ευθείας q είναι το $\vec{v} = (2, 3)$ . Τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά, αφού τα διανύσματα $\vec{u}, \vec{v}$ δεν είναι γραμμικά εξαρτημένα. Δεν υπάρχει κανένα λ ∈ ℝ τέτοιο ώστε $λ \cdot \vec{u} = \vec{v}$ . Από αυτό προκύπτει ότι οι ευθείες είναι τεμνόμενες.

Υπολογίζουμε ακόμα το εσωτερικό γινόμενο, για να ελέγξουμε αν οι ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους. Το εσωτερικό γινόμενο των κάθετων διανυσμάτων είναι

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (u_{1} \cdot v_{1} + u_{2} \cdot v_{2}) = - 2 + 9 = 7$

Το εσωτερικό γινόμενο είναι μη μηδενικό, άρα οι ευθείες δεν είναι κάθετες μεταξύ τους.
Εξέτασε τη σχετική θέση των ευθειών p και q που δίνονται από την εξίσωση p: 2x + y − 8 = 0 και τις παραμετρικές εξισώσεις ευθείας της q:

$\begin{array}{rcl} x & = & 5 - t \\ y & = & 2 + 2 t \end{array}$

Από τις παραμετρικές εξισώσεις μπορούμε αμέσως να διαβάσουμε το παράλληλο διάνυσμα της ευθείας q. Είναι ίδιο με τους συντελεστές της παραμέτρου t, άρα το παράλληλο διάνυσμα της ευθείας q έχει τη μορφή $\vec{v} = (- 1, 2)$ . Από τη γενική εξίσωση της ευθείας p μπορούμε πάλι αμέσως να διαβάσουμε το κάθετο διάνυσμα, που έχει τη μορφή $\vec{n} = (2, 1)$ (οι τιμές των συντελεστών μπροστά από τα x και y). Από το κάθετο διάνυσμα παίρνουμε το παράλληλο διάνυσμα $\vec{u} = (1, - 2)$ .

(Απλώς αντιμεταθέσαμε τους αριθμούς και πολλαπλασιάσαμε τη μία συντεταγμένη με −1. Για τα διανύσματα (2, 1) και (1, −2) ισχύει ότι το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν, γι᾽ αυτό αν το (2, 1) είναι κάθετο διάνυσμα, τότε το (1, −2) είναι παράλληλο διάνυσμα.)

Βλέπουμε ότι το παράλληλο διάνυσμα της ευθείας p είναι το παράλληλο διάνυσμα της ευθείας q πολλαπλασιασμένο επί −1, ισχύει $- 1 \cdot \vec{v} = \vec{u}$ . Οι ευθείες έχουν λοιπόν παράλληλα διανύσματα που είναι συγγραμμικά, πράγμα που σημαίνει ότι οι ευθείες p και q είναι παράλληλες ή ταυτίζονται.

Τώρα πρέπει να βρούμε αν οι ευθείες είναι παράλληλες ή ταυτίζονται. Αρκεί να πάρουμε οποιοδήποτε σημείο A που βρίσκεται στην ευθεία q και να το αντικαταστήσουμε στην εξίσωση που περιγράφει την ευθεία p. Αν η εξίσωση ισχύει, οι ευθείες ταυτίζονται. Διαφορετικά είναι απλώς παράλληλες.

Παίρνουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας q και στη θέση της παραμέτρου t αντικαθιστούμε το μηδέν. Παίρνουμε:

$\begin{array}{rcl} x & = & 5 - 0 = 5 \\ y & = & 2 + 2 \cdot 0 = 2 \end{array}$

Πήραμε το σημείο A(5, 2), που σίγουρα βρίσκεται στην ευθεία q. Αυτές τις συντεταγμένες τις αντικαθιστούμε στη γενική εξίσωση p: 2x + y − 8 = 0:

$\begin{array}{rcl} 2 x + y - 8 & = & 0 \\ 2 \cdot 5 + 2 - 8 & = & 0 \\ 12 - 8 & = & 0 \\ 4 & = & 0 \end{array}$

Αυτό το σημείο δεν επαληθεύει την εξίσωση, άρα το σημείο A(5, 2) δεν βρίσκεται στην ευθεία p και οι ευθείες δεν ταυτίζονται.
Εξέτασε τη σχετική θέση των ευθειών p και q, που δίνονται από τις εξισώσεις: p: −x + 3y − 6 = 0 και q: 3x + y − 14 = 0. Αυτό το παράδειγμα διαφέρει από το τρίτο παράδειγμα της προηγούμενης ενότητας. Και από τις δύο εξισώσεις μπορούμε να διαβάσουμε τα κάθετα διανύσματα των ευθειών. Τα κάθετα διανύσματα έχουν τη μορφή ${\vec{n}}_{p} = (- 1, 3)$ και ${\vec{n}}_{q} = (3, 1)$ . Τα κάθετα διανύσματα δεν είναι γραμμικά εξαρτημένα/συγγραμμικά, δεν υπάρχει κανένας πραγματικός αριθμός λ τέτοιος ώστε $λ \cdot {\vec{n}}_{p} = {\vec{n}}_{q}$ .

Τώρα θα βρούμε ακόμα αν οι ευθείες είναι κάθετες. Υπολογίζουμε το εσωτερικό γινόμενο:

${\vec{n}}_{p} \cdot {\vec{n}}_{q} = (- 1, 3) \cdot (3, 1) = - 3 + 3 = 0$

Το εσωτερικό γινόμενο βγήκε μηδέν, τα διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους. Γι᾽ αυτό ισχύει ότι και οι ίδιες οι ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους. Σχήμα:

Αν θέλαμε να βρούμε το σημείο τομής των δύο ευθειών, πρέπει να το υπολογίσουμε από τις εξισώσεις. Από τις γενικές εξισώσεις φτιάχνουμε σύστημα εξισώσεων:

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y - 6 & = & 0 \\ 3 x + y - 14 & = & 0 \end{array}$

Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη εξίσωση με −3:

$\begin{array}{rcl} - 3 x + 9 y - 18 & = & 0 \\ 3 x + y - 14 & = & 0 \end{array}$

Τώρα προσθέτουμε τις εξισώσεις και συνεχίζουμε τις πράξεις:

$\begin{array}{rcl} - 3 x + 9 y - 18 + (3 x + y - 14) & = & 0 \\ 9 y + y - 18 - 14 & = & 0 \\ 10 y - 32 & = & 0 \\ y = \frac{32}{10} = \frac{16}{5} \end{array}$

Τη συντεταγμένη x την υπολογίζουμε με αντικατάσταση σε κάποια εξίσωση, για παράδειγμα στην −x + 3y − 6 = 0:

$\begin{array}{rcl} - x + 3 y - 6 & = & 0 \\ - x + 3 \cdot \frac{16}{5} - 6 & = & 0 \\ - x + \frac{48}{5} - \frac{30}{5} & = & 0 \\ - x + \frac{18}{5} & = & 0 \\ x & = & \frac{18}{5} \end{array}$

Οι συντεταγμένες του σημείου τομής των δύο ευθειών βγαίνουν $P (\frac{18}{5}, \frac{16}{5})$ .

« Προηγούμενο: Εξίσωση ευθείας στον χώρο

Επόμενο: Εξίσωση επιπέδου »