Egyenesek kölcsönös helyzete

Két síkbeli egyenes kölcsönös helyzete összesen négyféle lehet. Az egyenesek lehetnek párhuzamosak, metszők, merőlegesek vagy egybeesők.

A kölcsönös helyzet meghatározása az egyenletekből

Ha adott két egyenes és a két egyenletük, egyszerűen megoldjuk a két egyenletből álló rendszert. Összesen három eset fordulhat elő:

1. Az egyenletrendszernek nincs megoldása – az egyeneseknek nincs közös pontjuk, ezért párhuzamosak.
2. Az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van – az egyeneseknek pontosan egy közös pontjuk, metszéspontjuk van, ezért az egyenesek metszők.
3. Az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van – az egyeneseknek végtelen sok közös pontjuk van, ezért az egyenesek egybeesők.

Figyeld meg, hogy ezen az úton nem tudjuk meg, hogy az egyenesek merőlegesek-e egymásra.

Az ábrán az a, b párhuzamos egyeneseket látjuk, a c, d metsző egyeneseket, amelyek egy pontban metszik egymást, és az e, f egybeeső egyeneseket.

Következnek a példák:

1. Vizsgáljuk meg a p és q egyenes kölcsönös helyzetét, ha az egyenleteik p: −x + 3y − 5 = 0 és q: 2x + 3y − 17 = 0. A két egyenletből lineáris egyenletrendszert készítünk, és megoldjuk:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Az első egyenletet megszorozzuk kettővel:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   És a két egyenletet összeadjuk:

   $$-2x+6y-10+(2x+3y-17)=0$$

   A további átalakítások egyszerűek:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10+(2x+3y-17)& =& 0\\ 6y+3y-10-17& =& 0\\ 9y-27& =& 0\\ y-3& =& 0\\ y=3\end{array}$$

   Még ki kell számítanunk az x-et, például úgy, hogy az y = 3 értéket behelyettesítjük a −x + 3y − 5 = 0 egyenletbe:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ -x+3\cdot 3-5& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

   Az egyenletrendszernek egyetlen megoldása lett, x = 4, y = 3. Ez azt jelenti, hogy az egyenesek metszők, és az X(4; 3) pontban metszik egymást. Ábra:

   

2. Vizsgáljuk meg a p és q egyenes kölcsönös helyzetét, ha p: 2x + y − 8 = 0, a q egyenest pedig paraméteres egyenlete adja meg:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Ebben az esetben az egyik egyenes általános egyenletével, a másik paraméteres egyenletével adott. Ezt úgy oldjuk meg, hogy az általános egyenletbe x és y helyére a paraméteres egyenlet értékeit helyettesítjük. Vagyis az általános egyenletben x helyére a paraméteres egyenlet jobb oldalát írjuk, ugyanígy y-nál. Egy egyenletet kapunk:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\end{array}$$

   És az egyenletet már a megszokott módon átalakítjuk:

   $$\begin{array}{rcl}2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\\ 10-2t+2+2t-8& =& 0\\ 12-8+2t-2t& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Az egyenletnek nincs megoldása, az egyenesek tehát egyetlen pontban sem metszik egymást. A p és q egyenes tehát párhuzamos. Ábra:

   

3. Vizsgáljuk meg a p és q egyenes kölcsönös helyzetét, ha az egyenleteik p: 3x + y − 10 = 0 és q: −9x −3y + 30 = 0. Első pillantásra látszik, hogy a második egyenlet az első −3-szorosa, tehát az egyeneseknek egybe kellene esniük. De számoljuk ki. Felírjuk az egyenletrendszert:

   $$\begin{array}{rcl}3x+y-10& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Az első egyenletet megszorozzuk 3-mal:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   És a két egyenletet összeadjuk:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30+(-9x-3y+30)& =& 0\\ 9x-9x+3y-3y+30-30& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

   Az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van, az egyeneseknek végtelen sok közös pontjuk van, tehát egybeesők. Ábra:

   

A kölcsönös helyzet meghatározása az irány- és normálvektorból

Ha ismerjük az irányvektort vagy a normálvektort, meghatározhatjuk az egyenesek kölcsönös helyzetét. A következők érvényesek:

1. Ha az irányvektorok kollineárisak (lineárisan összefüggők), az egyenesek párhuzamosak vagy egybeesők.
2. Ha az irányvektorok nem kollineárisak (lineárisan függetlenek), az egyenesek metszők.
3. Ha az irányvektorok skaláris szorzata nulla, az egyenesek merőlegesek egymásra.

Az előző pontok a normálvektorokra ugyanígy érvényesek. Vagyis ha a normálvektorok kollineárisak, az egyenesek párhuzamosak vagy egybeesők stb.

Az előző fejezet három példáját megpróbáljuk kiszámolni az irány- és normálvektorok segítségével.

1. Vizsgáljuk meg a p és q egyenes kölcsönös helyzetét, ha az egyenleteik p: −x + 3y − 5 = 0 és q: 2x + 3y − 17 = 0. A p egyenes normálvektora $\overrightarrow{u}(-1;3)$, a q egyenes normálvektora $\overrightarrow{v}(2;3)$. A vektorok nem kollineárisak, mert a $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ vektorok lineárisan függetlenek. Nincs olyan a ∈ ℝ, amelyre $a\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$. Ebből következik, hogy az egyenesek metszők.

   Még kiszámítjuk a skaláris szorzatot, hogy ellenőrizzük, merőlegesek-e az egyenesek egymásra. A normálvektorok skaláris szorzata

   $$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=(u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2)=-2+9=7$$

   A skaláris szorzat nem nulla, tehát az egyenesek nem merőlegesek egymásra.

2. Vizsgáljuk meg a p és q egyenes kölcsönös helyzetét, ha p: 2x + y − 8 = 0, a q egyenest pedig paraméteres egyenlete adja meg:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   A paraméteres egyenletből rögtön leolvashatjuk a q egyenes irányvektorát. Ez megegyezik a t paraméter együtthatóival, tehát a q egyenes irányvektora $\overrightarrow{v}(-1;2)$. Az általános egyenletből a p egyenes normálvektorát olvashatjuk le rögtön, ez $\overrightarrow{n}(2;1)$ (az x és y előtti együtthatók értékei). A normálvektorból megkapjuk az $\overrightarrow{u}(1;-2)$ irányvektort.

   (Csak felcseréltük a számokat, és az egyik koordinátát megszoroztuk −1-gyel. A (2; 1) és (1; −2) vektorra igaz, hogy a skaláris szorzatuk nulla, ezért ha a (2; 1) normálvektor, akkor az (1; −2) irányvektor.)

   Látjuk, hogy a p egyenes irányvektora a q egyenes irányvektorának −1-szerese, azaz $-1\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}$. Az egyenesek irányvektorai tehát kollineárisak, vagyis a p és q egyenes párhuzamos vagy egybeeső.

   Most azt kell megállapítanunk, hogy az egyenesek párhuzamosak vagy egybeesők. Elég venni egy tetszőleges A pontot, amely a q egyenesen van, és behelyettesíteni a p egyenest leíró egyenletbe. Ha az egyenlet teljesül, az egyenesek egybeesők. Ellenkező esetben csak párhuzamosak.

   Vesszük a q egyenes paraméteres egyenletét, és a t paraméter helyére nullát helyettesítünk. Kapjuk:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-0=5\\ y& =& 2+2\cdot 0=2\end{array}$$

   Megkaptuk az A(5; 2) pontot, amely biztosan a q egyenesen van. Ezeket a koordinátákat behelyettesítjük a p: 2x + y − 8 = 0 általános egyenletbe:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot 5+2-8& =& 0\\ 12-8& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Ez a pont nem megoldása az egyenletnek, tehát az A(5; 2) pont nincs rajta a p egyenesen, és az egyenesek így nem egybeesők.

3. Vizsgáljuk meg a p és q egyenes kölcsönös helyzetét, ha az egyenleteik: p: −x + 3y − 6 = 0 és q: 3x + y − 14 = 0. Ez a példa különbözik az előző fejezet harmadik példájától. Mindkét egyenletből leolvashatjuk az egyenesek normálvektorát. A normálvektorok ${\overrightarrow{n}}_p(-1;3)$ és ${\overrightarrow{n}}_q(3;1)$. A normálvektorok lineárisan függetlenek, vagyis nem kollineárisak, nincs olyan valós a, amelyre $a\cdot {\overrightarrow{n}}_p={\overrightarrow{n}}_q$.

   Most még megállapítjuk, hogy az egyenesek merőlegesek-e. Kiszámítjuk a skaláris szorzatot:

   $${\overrightarrow{n}}_p\cdot {\overrightarrow{n}}_q=(-1;3)\cdot (3;1)=-3+3=0$$

   A skaláris szorzat nulla lett, a vektorok merőlegesek egymásra. Ezért az egyenesek is merőlegesek egymásra. Ábra:

   

   Ha meg szeretnénk tudni a két egyenes metszéspontját, az egyenletekből kell kiszámítanunk. Az általános egyenletekből egyenletrendszert állítunk fel:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Az első egyenletet megszorozzuk −3-mal:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Az egyenleteket most összeadjuk, és tovább alakítjuk:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18+(3x+y-14)& =& 0\\ 9y+y-18-14& =& 0\\ 10y-32& =& 0\\ y=\frac{32}{10}=\frac{16}{5}\end{array}$$

   Az x koordinátát valamelyik egyenletbe való behelyettesítéssel számítjuk ki, például a −x + 3y − 6 = 0 egyenletbe:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ -x+3\cdot \frac{16}{5}-6& =& 0\\ -x+\frac{48}{5}-\frac{30}{5}& =& 0\\ -x+\frac{18}{5}& =& 0\\ x& =& \frac{18}{5}\end{array}$$

   A két egyenes metszéspontjának koordinátái $P(\frac{18}{5};\frac{16}{5})$.