Lagebeziehung von Geraden

Bei zwei Geraden in der Ebene können wir insgesamt vier verschiedene Fälle unterscheiden. Die Geraden können parallel sein, sich schneiden, senkrecht aufeinander stehen oder identisch sein.

Bestimmung der Lagebeziehung aus den Gleichungen

Haben wir zwei Geraden und ihre zwei Gleichungen, lösen wir einfach das Gleichungssystem aus diesen beiden Gleichungen. Es können insgesamt drei Fälle eintreten:

1. Das System hat keine Lösung – die Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt und sind daher parallel.
2. Das System hat genau eine Lösung – die Geraden haben genau einen gemeinsamen Punkt, den Schnittpunkt, und schneiden sich daher.
3. Das System hat unendlich viele Lösungen – die Geraden haben unendlich viele gemeinsame Punkte und sind daher identisch.

Beachte, dass wir auf diesem Weg nicht herausfinden, ob die Geraden senkrecht aufeinander stehen.

In der Abbildung sehen wir die parallelen Geraden a, b, die Geraden c, d, die sich in einem Punkt schneiden, und die identischen Geraden e, f.

Es folgen Beispiele:

1. Untersuche die Lagebeziehung der Geraden p und q, die durch die Gleichungen p: −x + 3y − 5 = 0 und q: 2x + 3y − 17 = 0 gegeben sind. Aus beiden Gleichungen bilden wir ein lineares Gleichungssystem und lösen dieses System:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Die erste Gleichung multiplizieren wir mit zwei:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Und wir addieren die Gleichungen:

   $$-2x+6y-10+(2x+3y-17)=0$$

   Die weiteren Umformungen sind leicht:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10+(2x+3y-17)& =& 0\\ 6y+3y-10-17& =& 0\\ 9y-27& =& 0\\ y-3& =& 0\\ y=3\end{array}$$

   Jetzt berechnen wir noch x, zum Beispiel, indem wir den Wert y = 3 in die Gleichung −x + 3y − 5 = 0 einsetzen:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ -x+3\cdot 3-5& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

   Wir haben eine einzige Lösung des Gleichungssystems erhalten, x = 4, y = 3. Das bedeutet, dass die Geraden sich schneiden, und zwar im Punkt X(4 ∣ 3). Abbildung:

   

2. Untersuche die Lagebeziehung der Geraden p und q, die durch die Gleichung p: 2x + y − 8 = 0 und die Parameterform der Geraden q gegeben sind:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   In diesem Fall haben wir eine allgemeine Geradengleichung und eine Parameterform. Diesen Fall lösen wir, indem wir in die allgemeine Gleichung für x und y die Werte aus der Parameterform einsetzen. Also setzen wir für x in der allgemeinen Gleichung die rechte Seite der Parameterform ein, dasselbe bei y. Wir erhalten eine Gleichung:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\end{array}$$

   Und die Gleichung formen wir ganz normal weiter um:

   $$\begin{array}{rcl}2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\\ 10-2t+2+2t-8& =& 0\\ 12-8+2t-2t& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Die Gleichung hat keine Lösung, die Geraden schneiden sich also in keinem Punkt. Die Geraden p und q sind daher parallel. Abbildung:

   

3. Untersuche die Lagebeziehung der Geraden p und q, die durch die Gleichungen p: 3x + y − 10 = 0 und q: −9x −3y + 30 = 0 gegeben sind. Auf den ersten Blick sieht man, dass die zweite Gleichung das −3-Fache der ersten Gleichung ist, die Geraden sollten also identisch sein. Aber rechnen wir es nach. Wir stellen das Gleichungssystem auf:

   $$\begin{array}{rcl}3x+y-10& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Die erste Gleichung multiplizieren wir mit 3:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Und wir addieren die Gleichungen:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30+(-9x-3y+30)& =& 0\\ 9x-9x+3y-3y+30-30& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

   Das System hat unendlich viele Lösungen, die Geraden haben unendlich viele gemeinsame Punkte und sind daher identisch. Abbildung:

   

Bestimmung der Lagebeziehung aus Richtungs- und Normalenvektor

Kennen wir den Richtungsvektor oder den Normalenvektor, können wir die Lagebeziehung der Geraden bestimmen. Dabei gilt:

1. Sind die Richtungsvektoren kollinear (linear abhängig), dann sind die Geraden parallel oder identisch.
2. Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear (nicht linear abhängig), dann schneiden sich die Geraden.
3. Ist das Skalarprodukt der Richtungsvektoren null, dann stehen die Geraden senkrecht aufeinander.

Die vorigen Punkte gelten ebenso für Normalenvektoren. Das heißt, sind die Normalenvektoren kollinear, dann sind die Geraden parallel oder identisch usw.

Versuchen wir, die drei Beispiele aus dem vorigen Abschnitt mithilfe von Richtungs- und Normalenvektoren zu lösen.

1. Untersuche die Lagebeziehung der Geraden p und q, die durch die Gleichungen p: −x + 3y − 5 = 0 und q: 2x + 3y − 17 = 0 gegeben sind. Der Normalenvektor der Geraden p hat die Form $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)$, der Normalenvektor der Geraden q hat die Form $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$. Die Vektoren sind nicht kollinear, weil die Vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ nicht linear abhängig sind. Es gibt kein a ∈ ℝ mit $a\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Daraus folgt, dass die Geraden sich schneiden.

   Wir berechnen noch das Skalarprodukt, um zu überprüfen, ob die Geraden senkrecht aufeinander stehen. Das Skalarprodukt der Normalenvektoren ist

   $$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2)=-2+9=7$$

   Das Skalarprodukt ist ungleich null, die Geraden stehen also nicht senkrecht aufeinander.

2. Untersuche die Lagebeziehung der Geraden p und q, die durch die Gleichung p: 2x + y − 8 = 0 und die Parameterform der Geraden q gegeben sind:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Aus der Parameterform können wir sofort den Richtungsvektor der Geraden q ablesen. Er stimmt mit den Koeffizienten beim Parameter t überein, der Richtungsvektor der Geraden q hat also die Form $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$. Aus der allgemeinen Gleichung der Geraden p können wir wiederum sofort den Normalenvektor ablesen, der die Form $\overrightarrow{\mathbf{n}}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ hat (die Werte der Koeffizienten vor x und y). Aus dem Normalenvektor erhalten wir den Richtungsvektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$.

   (Wir haben nur die Zahlen vertauscht und eine der Koordinaten mit −1 multipliziert. Für die Vektoren $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$ gilt, dass ihr Skalarprodukt null ist, deshalb gilt: Ist $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ ein Normalenvektor, dann ist $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$ ein Richtungsvektor.)

   Wir sehen, dass der Richtungsvektor der Geraden p das −1-Fache des Richtungsvektors der Geraden q ist, es gilt $-1\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Die Richtungsvektoren der Geraden sind also kollinear, was bedeutet, dass die Geraden p und q parallel oder identisch sind.

   Nun sollten wir herausfinden, ob die Geraden parallel oder identisch sind. Es genügt, einen beliebigen Punkt A zu nehmen, der auf der Geraden q liegt, und ihn in die Gleichung einzusetzen, die die Gerade p beschreibt. Gilt die Gleichung, sind die Geraden identisch. Andernfalls sind sie nur parallel.

   Wir nehmen die Parameterform der Geraden q und setzen für den Parameter t null ein. Wir erhalten:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-0=5\\ y& =& 2+2\cdot 0=2\end{array}$$

   Wir haben den Punkt A(5 ∣ 2) erhalten, der sicher auf der Geraden q liegt. Diese Koordinaten setzen wir in die allgemeine Gleichung p: 2x + y − 8 = 0 ein:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot 5+2-8& =& 0\\ 12-8& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Der Punkt erfüllt die Gleichung nicht, der Punkt A(5 ∣ 2) liegt also nicht auf der Geraden p, und die Geraden sind daher nicht identisch.

3. Untersuche die Lagebeziehung der Geraden p und q, die durch die Gleichungen p: −x + 3y − 6 = 0 und q: 3x + y − 14 = 0 gegeben sind. Dieses Beispiel unterscheidet sich vom dritten Beispiel des vorigen Abschnitts. Aus beiden Gleichungen können wir die Normalenvektoren beider Geraden ablesen. Die Normalenvektoren haben die Form ${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)$ und ${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$. Die Normalenvektoren sind nicht linear abhängig bzw. kollinear, es gibt kein reelles a mit $a\cdot {\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p={\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q$.

   Nun finden wir noch heraus, ob die Geraden senkrecht aufeinander stehen. Wir berechnen das Skalarprodukt:

   $${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p\cdot {\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)=-3+3=0$$

   Das Skalarprodukt ist null, die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander. Deshalb stehen auch die Geraden selbst senkrecht aufeinander. Abbildung:

   

   Wollen wir den Schnittpunkt beider Geraden bestimmen, müssen wir ihn aus den Gleichungen berechnen. Wir stellen aus den allgemeinen Gleichungen ein Gleichungssystem auf:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Die erste Gleichung multiplizieren wir mit −3:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Die Gleichungen addieren wir nun und formen weiter um:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18+(3x+y-14)& =& 0\\ 9y+y-18-14& =& 0\\ 10y-32& =& 0\\ y=\frac{32}{10}=\frac{16}{5}\end{array}$$

   Die x-Koordinate berechnen wir durch Einsetzen in eine der Gleichungen, zum Beispiel in −x + 3y − 6 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ -x+3\cdot \frac{16}{5}-6& =& 0\\ -x+\frac{48}{5}-\frac{30}{5}& =& 0\\ -x+\frac{18}{5}& =& 0\\ x& =& \frac{18}{5}\end{array}$$

   Wir erhalten die Koordinaten des Schnittpunkts beider Geraden $P(\frac{18}{5}\mid \frac{16}{5})$.