Poziția relativă a dreptelor

La două drepte în plan putem deosebi în total patru situații diferite. Dreptele pot fi paralele, concurente, perpendiculare sau confundate.

Determinarea poziției relative din ecuații

Dacă avem două drepte și cele două ecuații ale lor, rezolvăm pur și simplu sistemul format din aceste două ecuații. Pot apărea în total trei cazuri:

1. Sistemul nu are nicio soluție – dreptele nu au niciun punct comun și deci sunt paralele.
2. Sistemul are exact o soluție – dreptele au exact un punct comun (punctul de intersecție) și deci sunt concurente.
3. Sistemul are o infinitate de soluții – dreptele au o infinitate de puncte comune și deci sunt confundate.

Observă că pe această cale nu aflăm dacă dreptele sunt perpendiculare una pe alta.

În figură vedem dreptele paralele a, b, dreptele concurente c, d, care se intersectează într-un punct, și dreptele confundate e, f.

Urmează exemple:

1. Stabilește poziția relativă a dreptelor p și q, date de ecuațiile p: −x + 3y − 5 = 0 și q: 2x + 3y − 17 = 0. Din cele două ecuații formăm un sistem de ecuații liniare și rezolvăm acest sistem:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Înmulțim prima ecuație cu doi:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Și adunăm ecuațiile:

   $$-2x+6y-10+(2x+3y-17)=0$$

   Transformările următoare sunt simple:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10+(2x+3y-17)& =& 0\\ 6y+3y-10-17& =& 0\\ 9y-27& =& 0\\ y-3& =& 0\\ y=3\end{array}$$

   Mai calculăm x, de exemplu înlocuind valoarea y = 3 în ecuația −x + 3y − 5 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ -x+3\cdot 3-5& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

   Am obținut o singură soluție a sistemului, x = 4, y = 3. Asta înseamnă că dreptele sunt concurente și se intersectează în punctul X(4, 3). Figura:

   

2. Stabilește poziția relativă a dreptelor p și q, date de ecuația p: 2x + y − 8 = 0 și de ecuațiile parametrice ale dreptei q:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   În acest caz avem o ecuație generală a dreptei și una parametrică. Rezolvăm acest caz înlocuind în ecuația generală pe x și y cu valorile din ecuațiile parametrice. Adică în locul lui x din ecuația generală punem membrul drept al ecuației parametrice, la fel și pentru y. Obținem o singură ecuație:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\end{array}$$

   Și transformăm ecuația mai departe în mod obișnuit:

   $$\begin{array}{rcl}2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\\ 10-2t+2+2t-8& =& 0\\ 12-8+2t-2t& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Ecuația nu are nicio soluție, deci dreptele nu se intersectează în niciun punct. Dreptele p și q sunt deci paralele. Figura:

   

3. Stabilește poziția relativă a dreptelor p și q, date de ecuațiile p: 3x + y − 10 = 0 și q: −9x −3y + 30 = 0. De la prima privire se vede că a doua ecuație este de −3 ori prima ecuație, deci dreptele ar trebui să fie confundate. Dar să calculăm. Formăm sistemul de ecuații:

   $$\begin{array}{rcl}3x+y-10& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Înmulțim prima ecuație cu 3:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Și adunăm ecuațiile:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30+(-9x-3y+30)& =& 0\\ 9x-9x+3y-3y+30-30& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

   Sistemul are o infinitate de soluții, dreptele au o infinitate de puncte comune și deci sunt confundate. Figura:

   

Determinarea poziției relative din vectorul director și vectorul normal

Dacă cunoaștem vectorul director sau vectorul normal, putem determina poziția relativă a dreptelor. Se aplică următoarele:

1. Dacă vectorii directori sunt coliniari (liniar dependenți), atunci dreptele sunt paralele sau confundate.
2. Dacă vectorii directori nu sunt coliniari (nu sunt liniar dependenți), atunci dreptele sunt concurente.
3. Dacă produsul scalar al vectorilor directori este nul, atunci dreptele sunt perpendiculare una pe alta.

Punctele precedente se aplică la fel și pentru vectorii normali. Adică dacă vectorii normali sunt coliniari, atunci dreptele sunt paralele sau confundate etc.

Să încercăm să calculăm cele trei exemple din capitolul precedent cu ajutorul vectorilor directori și normali.

1. Stabilește poziția relativă a dreptelor p și q, date de ecuațiile p: −x + 3y − 5 = 0 și q: 2x + 3y − 17 = 0. Vectorul normal al dreptei p are forma $\overrightarrow{u}(-1,3)$, vectorul normal al dreptei q are forma $\overrightarrow{v}(2,3)$. Vectorii nu sunt coliniari, deoarece vectorii $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ nu sunt liniar dependenți. Nu există niciun k ∈ ℝ astfel încât $k\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$. Rezultă că dreptele sunt concurente.

   Mai calculăm produsul scalar, ca să verificăm dacă dreptele sunt perpendiculare una pe alta. Produsul scalar al vectorilor normali este

   $$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=(u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2)=-2+9=7$$

   Produsul scalar este nenul, deci dreptele nu sunt perpendiculare una pe alta.

2. Stabilește poziția relativă a dreptelor p și q, date de ecuația p: 2x + y − 8 = 0 și de ecuațiile parametrice ale dreptei q:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Din ecuațiile parametrice putem citi imediat vectorul director al dreptei q. Acesta coincide cu coeficienții parametrului t, deci vectorul director al dreptei q are forma $\overrightarrow{v}(-1,2)$. Din ecuația generală a dreptei p putem citi imediat vectorul normal, care are forma $\overrightarrow{n}(2,1)$ (valorile coeficienților lui x și y). Din vectorul normal obținem vectorul director $\overrightarrow{u}(1,-2)$.

   (Am schimbat doar ordinea numerelor și am înmulțit una dintre coordonate cu −1. Pentru vectorii (2, 1) și (1, −2) produsul lor scalar este egal cu zero, de aceea, dacă (2, 1) este vector normal, atunci (1, −2) este vector director.)

   Vedem că vectorul director al dreptei p este de −1 ori vectorul director al dreptei q, adică $-1\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}$. Dreptele au deci vectori directori coliniari, ceea ce înseamnă că dreptele p și q sunt paralele sau confundate.

   Acum trebuie să aflăm dacă dreptele sunt paralele sau confundate. Ne ajunge să luăm un punct oarecare A care se află pe dreapta q și să-l înlocuim în ecuația care descrie dreapta p. Dacă ecuația este adevărată, dreptele sunt confundate. În caz contrar sunt doar paralele.

   Luăm ecuațiile parametrice ale dreptei q și în locul parametrului t înlocuim zero. Obținem:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-0=5\\ y& =& 2+2\cdot 0=2\end{array}$$

   Am obținut punctul A(5, 2), care se află cu siguranță pe dreapta q. Înlocuim aceste coordonate în ecuația generală p: 2x + y − 8 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot 5+2-8& =& 0\\ 12-8& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Acest punct nu verifică ecuația, deci punctul A(5, 2) nu se află pe dreapta p și dreptele nu sunt confundate.

3. Stabilește poziția relativă a dreptelor p și q, date de ecuațiile: p: −x + 3y − 6 = 0 și q: 3x + y − 14 = 0. Acest exemplu diferă de al treilea exemplu din capitolul precedent. Din ambele ecuații putem citi vectorii normali ai celor două drepte. Vectorii normali au forma ${\overrightarrow{n}}_p(-1,3)$ și ${\overrightarrow{n}}_q(3,1)$. Vectorii normali nu sunt liniar dependenți/coliniari, nu există niciun k real astfel încât $k\cdot {\overrightarrow{n}}_p={\overrightarrow{n}}_q$.

   Acum mai aflăm dacă dreptele sunt perpendiculare. Calculăm produsul scalar:

   $${\overrightarrow{n}}_p\cdot {\overrightarrow{n}}_q=(-1,3)\cdot (3,1)=-3+3=0$$

   Produsul scalar a ieșit nul, vectorii sunt perpendiculari unul pe altul. De aceea și dreptele însele sunt perpendiculare una pe alta. Figura:

   

   Dacă vrem să aflăm punctul de intersecție al celor două drepte, trebuie să-l calculăm din ecuații. Formăm din ecuațiile generale un sistem de ecuații:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Înmulțim prima ecuație cu −3:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Adunăm acum ecuațiile și transformăm mai departe:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18+(3x+y-14)& =& 0\\ 9y+y-18-14& =& 0\\ 10y-32& =& 0\\ y=\frac{32}{10}=\frac{16}{5}\end{array}$$

   Coordonata x o calculăm înlocuind într-o ecuație oarecare, de exemplu în −x + 3y − 6 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ -x+3\cdot \frac{16}{5}-6& =& 0\\ -x+\frac{48}{5}-\frac{30}{5}& =& 0\\ -x+\frac{18}{5}& =& 0\\ x& =& \frac{18}{5}\end{array}$$

   Obținem coordonatele punctului de intersecție al celor două drepte: $X(\frac{18}{5},\frac{16}{5})$.