Posizione reciproca di due rette

Per due rette nel piano si possono distinguere in tutto quattro casi diversi. Le rette possono essere parallele, incidenti, perpendicolari o coincidenti.

Posizione reciproca a partire dalle equazioni

Se abbiamo due rette e le loro due equazioni, basta risolvere il sistema formato da queste due equazioni. Possono presentarsi tre casi:

1. Il sistema non ha soluzioni – le rette non hanno alcun punto in comune, quindi sono parallele.
2. Il sistema ha una sola soluzione – le rette hanno un solo punto in comune, il punto di intersezione, quindi sono incidenti.
3. Il sistema ha infinite soluzioni – le rette hanno infiniti punti in comune, quindi sono coincidenti.

Nota che in questo modo non possiamo scoprire se le rette sono perpendicolari tra loro.

Nella figura vediamo le rette parallele a, b, le rette incidenti c, d, che si intersecano in un punto, e le rette coincidenti e, f.

Ecco alcuni esempi:

1. Studia la posizione reciproca delle rette p e q date dalle equazioni p: −x + 3y − 5 = 0 e q: 2x + 3y − 17 = 0. Con le due equazioni formiamo un sistema di equazioni lineari e lo risolviamo:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   Moltiplichiamo la prima equazione per due:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10& =& 0\\ 2x+3y-17& =& 0\end{array}$$

   E sommiamo le equazioni:

   $$-2x+6y-10+(2x+3y-17)=0$$

   I passaggi successivi sono semplici:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y-10+(2x+3y-17)& =& 0\\ 6y+3y-10-17& =& 0\\ 9y-27& =& 0\\ y-3& =& 0\\ y=3\end{array}$$

   Calcoliamo ancora x, ad esempio sostituendo il valore y = 3 nell’equazione −x + 3y − 5 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-5& =& 0\\ -x+3\cdot 3-5& =& 0\\ -x+4& =& 0\\ x& =& 4\end{array}$$

   Il sistema ha un’unica soluzione, x = 4, y = 3. Significa che le rette sono incidenti e si intersecano nel punto X(4; 3). La figura:

   

2. Studia la posizione reciproca delle rette p e q, dove p ha equazione p: 2x + y − 8 = 0 e q è data dalle equazioni parametriche:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   In questo caso abbiamo un’equazione implicita della retta e una parametrica. Risolviamo il caso sostituendo nell’equazione implicita al posto di x e y i valori delle equazioni parametriche. Cioè al posto di x nell’equazione implicita sostituiamo il membro di destra dell’equazione parametrica, e lo stesso per y. Otteniamo un’unica equazione:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\end{array}$$

   E sviluppiamo l’equazione nel modo consueto:

   $$\begin{array}{rcl}2\cdot (5-t)+(2+2t)-8& =& 0\\ 10-2t+2+2t-8& =& 0\\ 12-8+2t-2t& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   L’equazione non ha soluzioni, quindi le rette non si intersecano in alcun punto. Le rette p e q sono dunque parallele. La figura:

   

3. Studia la posizione reciproca delle rette p e q date dalle equazioni p: 3x + y − 10 = 0 e q: −9x −3y + 30 = 0. A prima vista si nota che la seconda equazione è il prodotto della prima per −3, quindi le rette dovrebbero essere coincidenti. Ma facciamo il calcolo. Formiamo il sistema di equazioni:

   $$\begin{array}{rcl}3x+y-10& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   Moltiplichiamo la prima equazione per 3:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30& =& 0\\ -9x-3y+30& =& 0\end{array}$$

   E sommiamo le equazioni:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y-30+(-9x-3y+30)& =& 0\\ 9x-9x+3y-3y+30-30& =& 0\\ 0& =& 0\end{array}$$

   Il sistema ha infinite soluzioni, le rette hanno infiniti punti in comune e quindi sono coincidenti. La figura:

   

Posizione reciproca a partire dal vettore direttore e dal vettore normale

Se conosciamo il vettore direttore o il vettore normale, possiamo stabilire la posizione reciproca delle rette. Vale quanto segue:

1. Se i vettori direttori sono paralleli (linearmente dipendenti), le rette sono parallele o coincidenti.
2. Se i vettori direttori non sono paralleli (non sono linearmente dipendenti), le rette sono incidenti.
3. Se il prodotto scalare dei vettori direttori è nullo, le rette sono perpendicolari tra loro.

I punti precedenti valgono allo stesso modo per i vettori normali. Cioè se i vettori normali sono paralleli, le rette sono parallele o coincidenti, e così via.

Proviamo a calcolare i tre esempi del paragrafo precedente usando i vettori direttori e i vettori normali.

1. Studia la posizione reciproca delle rette p e q date dalle equazioni p: −x + 3y − 5 = 0 e q: 2x + 3y − 17 = 0. Il vettore normale della retta p ha la forma $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-1;3)$, il vettore normale della retta q ha la forma $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2;3)$. I vettori non sono paralleli, perché i vettori $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ non sono linearmente dipendenti. Non esiste alcun a ∈ ℝ tale che $a\cdot \overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Ne segue che le rette sono incidenti.

   Calcoliamo ancora il prodotto scalare per verificare se le rette sono perpendicolari tra loro. Il prodotto scalare dei vettori normali è

   $$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=(u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2)=-2+9=7$$

   Il prodotto scalare è diverso da zero, quindi le rette non sono perpendicolari tra loro.

2. Studia la posizione reciproca delle rette p e q, dove p ha equazione p: 2x + y − 8 = 0 e q è data dalle equazioni parametriche:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Dalle equazioni parametriche possiamo leggere subito il vettore direttore della retta q. Coincide con i coefficienti del parametro t, quindi il vettore direttore della retta q ha la forma $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(-1;2)$. Dall’equazione implicita della retta p possiamo invece leggere subito il vettore normale, che ha la forma $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(2;1)$ (i valori dei coefficienti di x e y). Dal vettore normale otteniamo il vettore direttore $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(1;-2)$.

   (Abbiamo solo scambiato i numeri e moltiplicato una delle componenti per −1. Per i vettori (2; 1) e (1; −2) il prodotto scalare è nullo, quindi se (2; 1) è un vettore normale, allora (1; −2) è un vettore direttore.)

   Vediamo che il vettore direttore della retta p è il multiplo −1 del vettore direttore della retta q, cioè $-1\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Le rette hanno quindi vettori direttori paralleli, il che significa che le rette p e q sono parallele o coincidenti.

   Ora dobbiamo stabilire se le rette sono parallele o coincidenti. Basta prendere un qualsiasi punto A che sta sulla retta q e sostituirlo nell’equazione che descrive la retta p. Se l’equazione è verificata, le rette sono coincidenti. In caso contrario sono solo parallele.

   Prendiamo le equazioni parametriche della retta q e al posto del parametro t sostituiamo zero. Otteniamo:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-0=5\\ y& =& 2+2\cdot 0=2\end{array}$$

   Abbiamo ottenuto il punto A(5; 2), che sta sicuramente sulla retta q. Sostituiamo queste coordinate nell’equazione implicita p: 2x + y − 8 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y-8& =& 0\\ 2\cdot 5+2-8& =& 0\\ 12-8& =& 0\\ 4& =& 0\end{array}$$

   Questo punto non verifica l’equazione, quindi il punto A(5; 2) non sta sulla retta p e le rette non sono coincidenti.

3. Studia la posizione reciproca delle rette p e q date dalle equazioni: p: −x + 3y − 6 = 0 e q: 3x + y − 14 = 0. Questo esempio è diverso dal terzo esempio del paragrafo precedente. Da entrambe le equazioni possiamo leggere i vettori normali delle due rette. I vettori normali hanno la forma ${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p=(-1;3)$ e ${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q=(3;1)$. I vettori normali non sono linearmente dipendenti/paralleli: non esiste alcun a reale tale che $a\cdot {\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p={\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q$.

   Ora stabiliamo ancora se le rette sono perpendicolari. Calcoliamo il prodotto scalare:

   $${\overrightarrow{\mathbf{n}}}_p\cdot {\overrightarrow{\mathbf{n}}}_q=(-1;3)\cdot (3;1)=-3+3=0$$

   Il prodotto scalare è risultato nullo, i vettori sono perpendicolari tra loro. Quindi anche le rette stesse sono perpendicolari tra loro. La figura:

   

   Se vogliamo trovare il punto di intersezione delle due rette, dobbiamo calcolarlo dalle equazioni. Dalle equazioni implicite formiamo il sistema di equazioni:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Moltiplichiamo la prima equazione per −3:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18& =& 0\\ 3x+y-14& =& 0\end{array}$$

   Ora sommiamo le equazioni e sviluppiamo ulteriormente:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y-18+(3x+y-14)& =& 0\\ 9y+y-18-14& =& 0\\ 10y-32& =& 0\\ y=\frac{32}{10}=\frac{16}{5}\end{array}$$

   L’ascissa si calcola sostituendo in una delle equazioni, ad esempio in −x + 3y − 6 = 0:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y-6& =& 0\\ -x+3\cdot \frac{16}{5}-6& =& 0\\ -x+\frac{48}{5}-\frac{30}{5}& =& 0\\ -x+\frac{18}{5}& =& 0\\ x& =& \frac{18}{5}\end{array}$$

   Le coordinate del punto di intersezione delle due rette sono $P(\frac{18}{5};\frac{16}{5})$.