Onderlinge ligging van lijnen

Bij twee lijnen in het vlak kunnen we in totaal vier verschillende situaties onderscheiden. De lijnen kunnen evenwijdig, snijdend, loodrecht of samenvallend zijn.

De onderlinge ligging bepalen uit de vergelijkingen

Als we twee lijnen en hun twee vergelijkingen hebben, lossen we gewoon het stelsel van deze twee vergelijkingen op. Er kunnen in totaal drie gevallen optreden:

1. Het stelsel heeft geen oplossing — de lijnen hebben geen gemeenschappelijk punt en zijn dus evenwijdig.
2. Het stelsel heeft precies één oplossing — de lijnen hebben precies één gemeenschappelijk punt (snijpunt) en zijn dus snijdend.
3. Het stelsel heeft oneindig veel oplossingen — de lijnen hebben oneindig veel gemeenschappelijke punten en vallen dus samen.

Let op dat we op deze manier niet te weten komen of de lijnen loodrecht op elkaar staan.

In de tekening zien we de evenwijdige lijnen a, b, de snijdende lijnen c, d, die elkaar in één punt snijden, en de samenvallende lijnen e, f.

Hierna volgen voorbeelden:

1. Onderzoek de onderlinge ligging van de lijnen p en q die gegeven zijn door de vergelijkingen p: −x + 3y = 5 en q: 2x + 3y = 17. Uit beide vergelijkingen maken we een stelsel lineaire vergelijkingen en dat stelsel lossen we op:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y& =& 5\\ 2x+3y& =& 17\end{array}$$

   De eerste vergelijking vermenigvuldigen we met twee:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y& =& 10\\ 2x+3y& =& 17\end{array}$$

   En we tellen de vergelijkingen op:

   $$-2x+6y+(2x+3y)=10+17$$

   De verdere herleiding is eenvoudig:

   $$\begin{array}{rcl}-2x+6y+(2x+3y)& =& 10+17\\ 6y+3y& =& 27\\ 9y& =& 27\\ y& =& 3\end{array}$$

   Nog x uitrekenen, bijvoorbeeld door de waarde y = 3 in te vullen in de vergelijking −x + 3y = 5:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y& =& 5\\ -x+3\cdot 3& =& 5\\ -x+9& =& 5\\ x& =& 4\end{array}$$

   We hebben één oplossing van het stelsel gekregen, x = 4, y = 3. Dat betekent dat de lijnen snijdend zijn en elkaar snijden in het punt X(4, 3). Tekening:

   

2. Onderzoek de onderlinge ligging van de lijnen p en q die gegeven zijn door de vergelijking p: 2x + y = 8 en door de parametervoorstelling van lijn q:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   In dit geval hebben we één algemene vergelijking van een lijn en één parametervoorstelling. Dit geval lossen we op door in de algemene vergelijking voor x en y de waarden uit de parametervoorstelling in te vullen. Dus voor x in de algemene vergelijking vullen we de rechterkant van de parametervoorstelling in, hetzelfde bij y. We krijgen één vergelijking:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y& =& 8\\ 2\cdot (5-t)+(2+2t)& =& 8\end{array}$$

   En de vergelijking werken we verder op de gebruikelijke manier om:

   $$\begin{array}{rcl}2\cdot (5-t)+(2+2t)& =& 8\\ 10-2t+2+2t& =& 8\\ 12+2t-2t& =& 8\\ 12& =& 8\end{array}$$

   De vergelijking heeft geen oplossing, de lijnen snijden elkaar dus in geen enkel punt. De lijnen p en q zijn dus evenwijdig. Tekening:

   

3. Onderzoek de onderlinge ligging van de lijnen p en q die gegeven zijn door de vergelijkingen p: 3x + y = 10 en q: −9x −3y = −30. Op het eerste gezicht zie je dat de tweede vergelijking het −3-voud van de eerste vergelijking is, dus de lijnen zouden moeten samenvallen. Maar laten we het uitrekenen. We maken een stelsel vergelijkingen:

   $$\begin{array}{rcl}3x+y& =& 10\\ -9x-3y& =& -30\end{array}$$

   De eerste vergelijking vermenigvuldigen we met 3:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y& =& 30\\ -9x-3y& =& -30\end{array}$$

   En we tellen de vergelijkingen op:

   $$\begin{array}{rcl}9x+3y+(-9x-3y)& =& 30+(-30)\\ 9x-9x+3y-3y& =& 30-30\\ 0& =& 0\end{array}$$

   Het stelsel heeft oneindig veel oplossingen, de lijnen hebben oneindig veel gemeenschappelijke punten en vallen dus samen. Tekening:

   

De onderlinge ligging bepalen uit de richtingsvector en de normaalvector

Als we de richtingsvector of de normaalvector kennen, kunnen we de onderlinge ligging van lijnen bepalen. Daarbij geldt:

1. Als de richtingsvectoren collineair (lineair afhankelijk) zijn, dan zijn de lijnen evenwijdig of vallen ze samen.
2. Als de richtingsvectoren niet collineair zijn (niet lineair afhankelijk), dan zijn de lijnen snijdend.
3. Als het inproduct van de richtingsvectoren nul is, dan staan de lijnen loodrecht op elkaar.

De voorgaande punten gelden evengoed voor normaalvectoren. Dus als de normaalvectoren collineair zijn, dan zijn de lijnen evenwijdig of vallen ze samen, enzovoort.

We proberen de vorige drie voorbeelden uit het vorige hoofdstuk uit te rekenen met richtingsvectoren en normaalvectoren.

1. Onderzoek de onderlinge ligging van de lijnen p en q die gegeven zijn door de vergelijkingen p: −x + 3y = 5 en q: 2x + 3y = 17. De normaalvector van lijn p heeft de vorm $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)$, de normaalvector van lijn q heeft de vorm $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$. Er geldt dat de vectoren niet collineair zijn, want de vectoren $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ zijn niet lineair afhankelijk. Er bestaat geen a ∈ ℝ zodat $a\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$. Hieruit volgt dat de lijnen snijdend zijn.

   We berekenen nog het inproduct om te controleren of de lijnen loodrecht op elkaar staan. Het inproduct van de normaalvectoren is

   $$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=(u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2)=-2+9=7$$

   Het inproduct is niet nul, dus de lijnen staan niet loodrecht op elkaar.

2. Onderzoek de onderlinge ligging van de lijnen p en q die gegeven zijn door de vergelijking p: 2x + y = 8 en door de parametervoorstelling van lijn q:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-t\\ y& =& 2+2t\end{array}$$

   Uit de parametervoorstelling kunnen we meteen de richtingsvector van lijn q aflezen. Die is gelijk aan de coëfficiënten bij de parameter t, dus de richtingsvector van lijn q heeft de vorm $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$. Uit de algemene vergelijking van lijn p kunnen we weer meteen de normaalvector aflezen, die de vorm $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ heeft (de waarden van de coëfficiënten bij x en y). Uit de normaalvector krijgen we de richtingsvector $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$.

   (We hebben alleen de getallen verwisseld en een van de coördinaten met −1 vermenigvuldigd. Voor de vectoren $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ en $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$ geldt dat hun inproduct nul is, dus als $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ een normaalvector is, dan is $\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$ een richtingsvector.)

   We zien dat de richtingsvector van lijn p het −1-voud is van de richtingsvector van lijn q, er geldt $-1\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}$. De lijnen hebben dus richtingsvectoren die collineair zijn, wat betekent dat de lijnen p en q evenwijdig zijn of samenvallen.

   Nu moeten we uitzoeken of de lijnen evenwijdig zijn of samenvallen. Het volstaat om een willekeurig punt A te nemen dat op lijn q ligt en dat in te vullen in de vergelijking die lijn p beschrijft. Als de vergelijking klopt, vallen de lijnen samen. Anders zijn ze alleen evenwijdig.

   We nemen de parametervoorstelling van lijn q en vullen voor de parameter t nul in. We krijgen:

   $$\begin{array}{rcl}x& =& 5-0=5\\ y& =& 2+2\cdot 0=2\end{array}$$

   We hebben het punt A(5, 2) gekregen, dat zeker op lijn q ligt. Deze coördinaten vullen we in de algemene vergelijking p: 2x + y = 8 in:

   $$\begin{array}{rcl}2x+y& =& 8\\ 2\cdot 5+2& =& 8\\ 12& =& 8\end{array}$$

   Dit punt is geen geldige oplossing van de vergelijking, dus het punt A(5, 2) ligt niet op lijn p en de lijnen vallen dus niet samen.

3. Onderzoek de onderlinge ligging van de lijnen p en q die gegeven zijn door de vergelijkingen: p: −x + 3y = 6 en q: 3x + y = 14. Dit voorbeeld verschilt van het derde voorbeeld uit het vorige hoofdstuk. Uit beide vergelijkingen kunnen we de normaalvectoren van beide lijnen aflezen. De normaalvectoren hebben de vorm ${\overrightarrow{n}}_p=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)$ en ${\overrightarrow{n}}_q=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$. De normaalvectoren zijn niet lineair afhankelijk/collineair, er bestaat geen reëel getal a zodat $a\cdot {\overrightarrow{n}}_p={\overrightarrow{n}}_q$.

   Nu zoeken we nog uit of de lijnen loodrecht staan. We berekenen het inproduct:

   $${\overrightarrow{n}}_p\cdot {\overrightarrow{n}}_q=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)=-3+3=0$$

   Het inproduct is nul, de vectoren staan loodrecht op elkaar. Daarom geldt dat ook de lijnen zelf loodrecht op elkaar staan. Tekening:

   

   Als we het snijpunt van beide lijnen willen weten, moeten we dat uit de vergelijkingen berekenen. Uit de algemene vergelijkingen maken we een stelsel vergelijkingen:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y& =& 6\\ 3x+y& =& 14\end{array}$$

   De eerste vergelijking vermenigvuldigen we met 3:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y& =& 18\\ 3x+y& =& 14\end{array}$$

   De vergelijkingen tellen we nu op en werken we verder om:

   $$\begin{array}{rcl}-3x+9y+(3x+y)& =& 18+14\\ 9y+y& =& 32\\ 10y& =& 32\\ y=\frac{32}{10}& =& \frac{16}{5}\end{array}$$

   De x-coördinaat berekenen we door in een van de vergelijkingen in te vullen, bijvoorbeeld in −x + 3y = 6:

   $$\begin{array}{rcl}-x+3y& =& 6\\ -x+3\cdot \frac{16}{5}& =& 6\\ -x+\frac{48}{5}& =& \frac{30}{5}\\ -x& =& -\frac{18}{5}\\ x& =& \frac{18}{5}\end{array}$$

   We krijgen de coördinaten van het snijpunt van beide lijnen $P(\frac{18}{5},\frac{16}{5})$.