Εσωτερικό γινόμενο

Το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται ανάμεσα σε δύο διανύσματα και συνδέει τα μέτρα των διανυσμάτων με τη γωνία τους.

Εσωτερικό γινόμενο

Το εσωτερικό γινόμενο το ορίζουμε ανάμεσα σε δύο διανύσματα. Το γράφουμε σαν συνηθισμένο γινόμενο, με τελεία στη μέση: $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$. Αποτέλεσμα του εσωτερικού γινομένου είναι πραγματικός αριθμός, όχι διάνυσμα. Αν έχουμε δύο διανύσματα $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)$ και $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$, τότε το εσωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με:

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

Αν τουλάχιστον ένα από τα διανύσματα $\overrightarrow{u}$ και $\overrightarrow{v}$ είναι μηδενικό, ορίζουμε το γινόμενό τους ως εξής:

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$$

Ποια είναι η γεωμετρική σημασία του εσωτερικού γινομένου; Για το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων ισχύει επίσης

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\alpha ,$$

όπου το α είναι το μέγεθος της γωνίας των διανυσμάτων. Αυτός ο τύπος μας δίνει έναν απλό τρόπο να βρούμε τη γωνία δύο διανυσμάτων. Αν απομονώσουμε από τον τύπο το συνημίτονο, παίρνουμε τον τύπο:

$$\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\alpha =\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|}=\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Ο τύπος ισχύει στο επίπεδο. Αν κινούμαστε στον χώρο, πρέπει να προσθέσουμε και μία ακόμη διάσταση. Τώρα μπορούμε να σχεδιάσουμε τη γεωμετρική σημασία του εσωτερικού γινομένου.

Αν πολλαπλασιάσουμε εσωτερικά τα διανύσματα $\overrightarrow{u}$ και $\overrightarrow{v}$ και διαιρέσουμε το αποτέλεσμα με το μήκος του διανύσματος $\overrightarrow{u}$, παίρνουμε το μήκος του τμήματος AD, που είναι το μέτρο της προβολής του διανύσματος $\overrightarrow{v}$ στην κατεύθυνση του διανύσματος $\overrightarrow{u}$.

Έλεγχος ορθής γωνίας

Το εσωτερικό γινόμενο μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για να ελέγξουμε αν η γωνία ανάμεσα στα διανύσματα είναι ίση με 90°. Πότε το εσωτερικό γινόμενο είναι ίσο με μηδέν; Αν κοιτάξουμε τον τύπο…

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\alpha$$

… βλέπουμε ότι το γινόμενο $|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|$ θα είναι προφανώς πάντα μη μηδενικό (τη γωνία ανάμεσα σε μηδενικά διανύσματα δεν την ορίζουμε, οπότε τώρα ασχολούμαστε μόνο με μη μηδενικά διανύσματα). Τα μέτρα των διανυσμάτων θα είναι πάντα θετικά, άρα και το γινόμενό τους. Η μόνη παράσταση που μπορεί να μηδενίσει ολόκληρη την παράσταση είναι το συνημίτονο. Πότε είναι το συνημίτονο ίσο με μηδέν; Αν η γωνία είναι ίση με 90° (ή 270° – η ορθή γωνία όμως θα βρίσκεται από την άλλη πλευρά). Ισχύει λοιπόν ότι τα διανύσματα σχηματίζουν ορθή γωνία, αν και μόνο αν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με μηδέν.

Παράδειγμα: έστω αυτά τα τρία διανύσματα: ${\overrightarrow{u}}_1=(-2,4),{\overrightarrow{u}}_2=(2,1),{\overrightarrow{u}}_3=(1,4)$. Ποια από αυτά είναι κάθετα μεταξύ τους; Υπολογίζουμε διαδοχικά το εσωτερικό γινόμενο όλων των ζευγών:

$$\begin{array}{rcl}{\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_2=-2\cdot 2+4\cdot 1& =& 0\\ {\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_3=-2\cdot 1+4\cdot 4& =& 14\\ {\overrightarrow{u}}_2\cdot {\overrightarrow{u}}_3=2\cdot 1+1\cdot 4& =& 6\end{array}$$

Σύμφωνα με το εσωτερικό γινόμενο, ορθή γωνία υπάρχει μόνο ανάμεσα στα διανύσματα ${\overrightarrow{u}}_1$ και ${\overrightarrow{u}}_2$. Μπορείς να δεις το σχήμα με αυτά τα διανύσματα:

Ας δοκιμάσουμε ακόμα να υπολογίσουμε τη γωνία ανάμεσα στα διανύσματα ${\overrightarrow{u}}_1$ και ${\overrightarrow{u}}_3$. Απλώς αντικαθιστούμε στον τύπο:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\alpha & =& \frac{-2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{(-2{)}^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2}}\\ & =& \frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{17}}\\ & =& \frac{14}{\sqrt{340}}\\ & \approx & \frac{14}{\mathrm{18,439}}\end{array}$$

Αν υπολογίσουμε το τόξο συνημιτόνου, παίρνουμε το μέγεθος της γωνίας. Αποτέλεσμα είναι μια γωνία περίπου 40°.