逆三角関数

基本的な三角関数を十分に使いこなすには、その逆関数も定義しておく必要があります。これを逆三角関数といい、アークサイン、アークコサイン、アークタンジェント、アークコタンジェントがあります。略して arcsin、arccos、arctan、arccot と書きます。

考えるきっかけ

例から始めましょう。角αの大きさを求めなさい。

三角形の2辺の長さ、b = 3 と a = 6 がわかっています。求めたいのは角αです。辺 a は斜辺で、辺 b は角αの対辺です。対辺を使うのはサインです。正確に言うと、角αのサインは、対辺の長さと斜辺の長さの比に等しくなります。そこで、式に代入してみます。

$$\sin (\alpha )=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

これで、角αのサインが2分の1であることがわかりました。問題は、この数から角をどうやって求めるかです。そのためには、サインの逆関数が必要です。サインは角を受け取って、2辺の比を返します。しかし、いま必要なのは、比を入れると角が出てくる関数です。

これを解決するのが逆三角関数です。逆三角関数をきちんと定義する前に、例題の答えを出しておきましょう。2分の1のアークサインは30°です。電卓で同じ計算をするときは、アークサインのキーが sin⁻¹ と書かれていることがよくあります。

サインの逆関数？

まず、サインのグラフを見てみましょう。

ここで、関数の性質を少し復習します。関数 f に逆関数があるのは、その関数が1対1のときです。これはどういう意味でしょうか。定義域から異なる2つの値 x₁ と x₂ をとると、関数の値 f(x₁) と f(x₂) も必ず異なる、という意味です。しかも、どの2つを選んでもこれが成り立たなければなりません。1対1かどうかは、グラフから簡単に読みとれます。x 軸に平行な直線で、関数 f のグラフと2回以上交わるものを引けるなら、その関数は1対1ではありません。

サインでは、そのような直線が見つかるのは明らかです。たとえば x 軸そのものが、サインのグラフと2回以上、正確に言えば無限回交わります。したがって、サインは1対1ではなく、逆関数は存在しません。

定義域を制限したサインの逆関数

前の節で、サインには逆関数が存在しないことがわかりました。しかし、最初の節では、求めているとおりにはたらく arcsin という関数があることを見ました。どうしてそうなるのでしょうか。サインのうち1対1になる部分だけを取り出し、その制限した関数に対して逆関数を定義したのです。

サインを制限するには、定義域をせまくします。もとの定義域（実数全体）のどの部分集合を選べばよいでしょうか。選び方はいくつかありますが、いちばんよいのは次の区間です。

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

この区間を次の図に示します。

この区間ではサインは1対1なので、この定義域なら逆関数を定義できます。逆関数のグラフはもとの関数のグラフと直線 y = x に関して対称なので、定義域を制限した sin(x) の逆関数のグラフをかくことができます。図を見てみましょう。

青はもとのサインです。赤は、逆関数を求めたい部分です。緑は逆関数で、arcsin または単に asin と書きます。

arcsin の定義域と値域

この2つの関数を使うと、定義域と値域が入れかわるようすがよくわかります。次の図を見てみましょう。同じグラフを同じ色でかいてありますが、少し拡大して、線や点をいくつかかき加えています。

定義域を制限したサイン（赤い線）の定義域は、次の区間でした。

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

定義域とは、関数が定義されているすべての x のことです。1対1の関数にするために、この区間だけで定義したのでした。グラフでは、これらの x を x 軸上で探します。

今度は、arcsin（緑の線）の値域を見てみましょう。値域とは、関数が出力として返しうるすべての y のことなので、y 軸上で探します。arcsin の値域も、次の区間になります。

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

これは逆関数の一般的な性質なので、驚くことではありません。定義域を制限したサインの値域と arcsin の定義域についても、同じことが成り立ちます。サインの値域は、マイナス1から1までの区間です。サインが返すのはこの範囲の値だけで、どんな角のサインも1より大きくなったり、マイナス1より小さくなったりはしません。どんな角のサインも1より大きくならないので、逆関数が1より大きい値を入力として受け取れないのは当然です。したがって、arcsin の定義域も区間 [−1, 1] です。

アークサインの値は、計算ツールで求められます。

アークコサイン

ここからは、コサインの逆関数について簡単に説明します。サインと同じ理由で、コサインも1対1ではないので、逆関数は存在しません。しかし、定義域の部分集合を選べば、1対1の関数にできます。

青はコサインのグラフ、赤はこの関数を定義域 [0, π] に制限した部分です。緑の線が関数 arccos(x) のグラフで、定義域を制限したコサインの逆関数です。

アークタンジェント

タンジェントのグラフは次のようになります。

グラフの形はこれまでの関数とちがいますが、やはり1対1ではありません。しかし、ここでもこの関数の定義域を制限して、1対1になる部分を選べます。次の開区間を選びます。

$$(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$$

逆関数は次のような形になります。

アークコタンジェント

考え方は、これまでの節とまったく同じです。コタンジェントのグラフは次のとおりです。 定義域を制限したコタンジェントの定義域は、開区間 (0, π) です。