Inproduct

Het inproduct (scalair product) is gedefinieerd tussen twee vectoren en geeft het verband tussen de lengten van de vectoren en hun hoek.

Inproduct

Het inproduct definiëren we tussen twee vectoren. We noteren het als een gewoon product, met een vermenigvuldigingspunt: $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$. De uitkomst van het inproduct is een reëel getal, geen vector. Als we twee vectoren $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$ en $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)$ hebben, dan is hun inproduct gelijk aan:

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

Als minstens een van de vectoren $\overrightarrow{u}$ en $\overrightarrow{v}$ de nulvector is, definiëren we hun product zo:

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$$

Wat is de meetkundige betekenis van het inproduct? Voor het inproduct van twee vectoren geldt tegelijk

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \cos \alpha ,$$

waarbij α de grootte van de hoek tussen deze vectoren is. Met deze formule kunnen we eenvoudig de hoek tussen twee vectoren bepalen. Als we uit deze formule de cosinus vrijmaken, krijgen we de formule:

$$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|}=\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

De formule geldt in het vlak. In de ruimte moeten we er nog een dimensie bij nemen. Nu kunnen we de meetkundige betekenis van het inproduct tekenen.

Als we de vectoren $\overrightarrow{u}$ en $\overrightarrow{v}$ scalair vermenigvuldigen en de uitkomst delen door de lengte van de vector $\overrightarrow{u}$, krijgen we de lengte van lijnstuk AD, en dat is de lengte van de projectie van de vector $\overrightarrow{v}$ op de richting van de vector $\overrightarrow{u}$.

Een rechte hoek testen

Met het inproduct kunnen we testen of de hoek tussen vectoren gelijk is aan 90°. Wanneer is het inproduct gelijk aan nul? Als we naar de formule kijken…

$$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|\cdot \cos \alpha$$

… zien we dat het product $|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{v}|$ kennelijk altijd ongelijk aan nul is (de hoek tussen nulvectoren definiëren we niet, dus we kijken nu alleen naar vectoren die niet de nulvector zijn). De lengten van de vectoren zijn altijd positief, en dus ook hun product. De enige factor die de hele uitdrukking nul kan maken, is de cosinus. Wanneer is de cosinus gelijk aan nul? Als de hoek gelijk is aan 90° (of 270°, maar dan ligt de rechte hoek aan de andere kant). Er geldt dus dat vectoren een rechte hoek maken precies dan als hun inproduct gelijk is aan nul.

Voorbeeld: we hebben deze drie vectoren: ${\overrightarrow{u}}_1=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right),{\overrightarrow{u}}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right),{\overrightarrow{u}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)$. Welke staan loodrecht op elkaar? We berekenen achtereenvolgens het inproduct van alle paren vectoren:

$$\begin{array}{rcl}{\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_2=-2\cdot 2+4\cdot 1& =& 0\\ {\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_3=-2\cdot 1+4\cdot 4& =& 14\\ {\overrightarrow{u}}_2\cdot {\overrightarrow{u}}_3=2\cdot 1+1\cdot 4& =& 6\end{array}$$

Volgens het inproduct is er alleen een rechte hoek tussen de vectoren ${\overrightarrow{u}}_1$ en ${\overrightarrow{u}}_2$. Je kunt de tekening met deze vectoren bekijken:

We proberen ook nog de hoek tussen de vectoren ${\overrightarrow{u}}_1$ en ${\overrightarrow{u}}_3$ te berekenen. We vullen gewoon in de formule in:

$$\begin{array}{rcl}\cos \alpha & =& \frac{-2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{(-2{)}^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2}}\\ & =& \frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{17}}\\ & =& \frac{14}{\sqrt{340}}\\ & \approx & \frac{14}{\mathrm{18,439}}\end{array}$$

Als we de arccosinus berekenen, krijgen we de grootte van de hoek. De uitkomst is een hoek van ongeveer 40°.