Produto escalar

O produto escalar é definido entre dois vetores e expressa a relação entre o módulo dos vetores e o ângulo entre eles.

Produto escalar

Definimos o produto escalar entre dois vetores. Escrevemos como um produto comum, com o ponto central: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}$. O resultado do produto escalar é um número real, não um vetor. Se temos dois vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(v_1,v_2)$, o produto escalar deles é igual a:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

Se pelo menos um dos vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ é nulo, definimos o produto deles assim:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=0$$

Qual é o significado geométrico do produto escalar? Para o produto escalar de dois vetores vale também

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \cos \alpha ,$$

em que α representa a medida do ângulo entre esses vetores. Essa fórmula nos dá uma maneira simples de descobrir a medida do ângulo entre dois vetores. Se isolamos o cosseno nessa fórmula, obtemos:

$$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}}{|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|}=\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

A fórmula vale no plano. Se estamos no espaço, precisamos acrescentar mais uma dimensão. Agora já podemos desenhar o significado geométrico do produto escalar.

Se multiplicamos escalarmente os vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ e dividimos o resultado pelo comprimento do vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, obtemos o comprimento do segmento AD, que é o módulo da projeção ortogonal do vetor $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ na direção do vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Testando o ângulo reto

Podemos usar o produto escalar para testar se o ângulo entre os vetores é igual a 90°. Quando o produto escalar será igual a zero? Olhando para a fórmula…

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \cos \alpha$$

… percebemos que o produto $|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|$ será sempre diferente de zero (não definimos o ângulo entre vetores nulos, então agora tratamos apenas de vetores não nulos). Os módulos dos vetores são sempre positivos, assim como o produto deles. A única expressão que pode reduzir tudo a zero é o cosseno. Quando o cosseno é igual a zero? Quando o ângulo é igual a 90° (ou 270° — mas então o ângulo reto fica do outro lado). Vale, portanto, que os vetores formam um ângulo reto se, e somente se, o produto escalar deles é igual a zero.

Exemplo: considere estes três vetores: ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=(-2,4),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=(2,1),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=(1,4)$. Quais deles são perpendiculares entre si? Calculamos, um a um, o produto escalar de todos os vetores:

$$\begin{array}{rcl}{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=-2\cdot 2+4\cdot 1& =& 0\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=-2\cdot 1+4\cdot 4& =& 14\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=2\cdot 1+1\cdot 4& =& 6\end{array}$$

Pelo produto escalar, o ângulo reto existe apenas entre os vetores ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ e ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2$. Você pode ver a figura com esses vetores:

Vamos tentar ainda calcular o ângulo entre os vetores ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ e ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3$. Basta substituir na fórmula:

$$\begin{array}{rcl}\cos \alpha & =& \frac{-2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{(-2{)}^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2}}\\ & =& \frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{17}}\\ & =& \frac{14}{\sqrt{340}}\\ & \approx & \frac{14}{\mathrm{18,439}}\end{array}$$

Se calculamos o arco cosseno, obtemos a medida do ângulo. O resultado é um ângulo de medida aproximada 40°.