Produit scalaire

Le produit scalaire se définit pour deux vecteurs et traduit le lien entre leurs normes et l’angle qu’ils forment.

Produit scalaire

Le produit scalaire se définit pour deux vecteurs. On le note comme un produit, avec un point médian : $\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}$. Le résultat du produit scalaire est un nombre réel et non un vecteur. Si l’on dispose de deux vecteurs $\overrightarrow{\mathbf{u}}\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{\mathbf{v}}\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)$, leur produit scalaire vaut :

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

Si l’un au moins des vecteurs $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ et $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ est nul, on définit leur produit ainsi :

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=0$$

Quelle est la signification géométrique du produit scalaire ? Pour deux vecteurs, on a aussi la relation suivante

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=\parallel \overrightarrow{\mathbf{u}}\parallel \cdot \parallel \overrightarrow{\mathbf{v}}\parallel \cdot \cos \alpha ,$$

où α désigne la mesure de l’angle formé par ces vecteurs. Cette formule donne un moyen simple de déterminer l’angle entre deux vecteurs. Si l’on isole le cosinus dans cette formule, on obtient :

$$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}}{\parallel \overrightarrow{\mathbf{u}}\parallel \cdot \parallel \overrightarrow{\mathbf{v}}\parallel }=\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Cette dernière formule est valable dans le plan. Dans l’espace, il faut ajouter une dimension supplémentaire. On peut maintenant représenter la signification géométrique du produit scalaire.

Si l’on calcule le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ et $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, puis que l’on divise le résultat par la norme du vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, on obtient la longueur du segment AD, c’est-à-dire la norme du projeté orthogonal du vecteur $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ sur la direction du vecteur $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Test de l’angle droit

Le produit scalaire permet de tester si l’angle entre deux vecteurs vaut 90°. Quand le produit scalaire est-il égal à zéro ? Regarde la formule…

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=\parallel \overrightarrow{\mathbf{u}}\parallel \cdot \parallel \overrightarrow{\mathbf{v}}\parallel \cdot \cos \alpha$$

… on constate alors que le produit $\parallel \overrightarrow{\mathbf{u}}\parallel \cdot \parallel \overrightarrow{\mathbf{v}}\parallel$ est forcément non nul (l’angle entre des vecteurs nuls n’est pas défini, on ne considère donc ici que des vecteurs non nuls). Les normes sont toujours strictement positives, de même que leur produit. Le seul facteur capable d’annuler l’ensemble est le cosinus. Quand le cosinus est-il nul ? Lorsque l’angle vaut 90° (ou 270° – on obtient alors l’angle droit de l’autre côté). Ainsi, deux vecteurs forment un angle droit si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Exemple : considérons les trois vecteurs ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3\left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)$. Lesquels sont orthogonaux entre eux ? Calculons successivement le produit scalaire de tous les couples de vecteurs :

$$\begin{array}{rcl}{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=-2\cdot 2+4\cdot 1& =& 0\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=-2\cdot 1+4\cdot 4& =& 14\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=2\cdot 1+1\cdot 4& =& 6\end{array}$$

D’après le produit scalaire, seuls les vecteurs ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ et ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2$ forment un angle droit. Observe la figure représentant ces vecteurs :

Calculons encore l’angle entre les vecteurs ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ et ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3$. Il suffit de substituer les valeurs dans la formule :

$$\begin{array}{rcl}\cos \alpha & =& \frac{-2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{(-2{)}^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2}}\\ & =& \frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{17}}\\ & =& \frac{14}{\sqrt{340}}\\ & \approx & \frac{14}{\mathrm{18,439}}\end{array}$$

En calculant l’arccosinus, on obtient la mesure de l’angle. Le résultat est un angle d’environ 40°.