Skalarprodukt

Skalarproduktet er defineret mellem to vektorer og beskriver sammenhængen mellem vektorernes længde og deres vinkel.

Skalarprodukt

Skalarproduktet definerer vi mellem to vektorer. Vi skriver det som et almindeligt produkt, med en midterprik: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}$. Resultatet af skalarproduktet er et reelt tal, det er ikke en vektor. Hvis vi har to vektorer $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)$, så er deres skalarprodukt lig med:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=u_1{v}_1+u_2{v}_2$$

Hvis mindst en af vektorerne $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ er nulvektoren, definerer vi deres produkt sådan:

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=0$$

Hvad er den geometriske betydning af skalarproduktet? For skalarproduktet af to vektorer gælder samtidig

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \cos \alpha ,$$

hvor α er størrelsen af vinklen mellem disse vektorer. Denne formel giver os en enkel måde at finde vinklen mellem to vektorer på. Hvis vi isolerer cosinus i denne formel, får vi formlen:

$$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}}{|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|}=\frac{u_1{v}_1+u_2{v}_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot \sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Formlen gælder i planen. Hvis vi bevæger os i rummet, skal vi tilføje endnu en dimension. Nu kan vi tegne den geometriske betydning af skalarproduktet.

Hvis vi danner skalarproduktet af vektorerne $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ og $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ og dividerer resultatet med længden af vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$, får vi længden af linjestykket AD, som er længden af projektionen af vektoren $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ på retningen af vektoren $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Test for en ret vinkel

Skalarproduktet kan vi bruge til at teste, om vinklen mellem vektorerne er lig med 90°. Hvornår er skalarproduktet lig med nul? Hvis vi ser på formlen …

$$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|\cdot \cos \alpha$$

… så finder vi ud af, at produktet $|\overrightarrow{\mathbf{u}}|\cdot |\overrightarrow{\mathbf{v}}|$ åbenbart altid er forskelligt fra nul (vinklen mellem nulvektorer definerer vi ikke, så vi beskæftiger os nu kun med vektorer, der ikke er nulvektorer). Vektorernes længder er altid positive, og det samme gælder deres produkt. Det eneste udtryk, der kan trække hele udtrykket ned til nul, er cosinus. Hvornår er cosinus lig med nul? Når vinklen er lig med 90° (eller 270° – den rette vinkel ligger dog på den anden side). Der gælder altså, at vektorerne danner en ret vinkel, netop når deres skalarprodukt er lig med nul.

Eksempel: Lad os have disse tre vektorer: ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right),{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)$. Hvilke af dem står vinkelret på hinanden? Vi beregner efter tur skalarproduktet af alle vektorerne:

$$\begin{array}{rcl}{\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2=-2\cdot 2+4\cdot 1& =& 0\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=-2\cdot 1+4\cdot 4& =& 14\\ {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2\cdot {\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3=2\cdot 1+1\cdot 4& =& 6\end{array}$$

Ifølge skalarproduktet er der kun en ret vinkel mellem vektorerne ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ og ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_2$. Du kan se en figur med disse vektorer:

Lad os også prøve at beregne vinklen mellem vektorerne ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_1$ og ${\overrightarrow{\mathbf{u}}}_3$. Vi indsætter bare i formlen:

$$\begin{array}{rcl}\cos \alpha & =& \frac{-2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{(-2{)}^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+4^2}}\\ & =& \frac{-2+16}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{17}}\\ & =& \frac{14}{\sqrt{340}}\\ & \approx & \frac{14}{\mathrm{18,439}}\end{array}$$

Hvis vi beregner arcus cosinus, får vi vinklens størrelse. Resultatet er en vinkel på cirka 40°.